Réponse :
Bonjour
1) La fonction densité de la variable X est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ telle que f(x) = 0,5[tex]e^{-0,5x}[/tex]
f'(x) = -0,25[tex]e^{-0.5x}[/tex] donc f'(x) < 0. Donc f(x) est décroissante sur [0 ; +∞[
voir représentation graphique en pièce jointe
Pour lire graphiquement la valeur du paramètre, on lit l'ordonnée du point d'intersection de la courbe de f et de l'axe des ordonnées.
2) voir démonstration en pièce jointe
E(x) = σ(X) = 1/0,5 = 2
3) p(1,5 ≤ X ≤2,5) = p(X ≤ 2,5) - p(X ≤ 1,5) = 1 - [tex]e^{-0,5*2,5}[/tex] - (1 - [tex]e^{-0,5*1,5}[/tex])
= -[tex]e^{-1.25}[/tex] + [tex]e^{-0.75}[/tex] ≈ 0,18586
4) p(X ≥ 2) sachant que X ≥ 1,5 = p(X ≥ 1,5 + 0,5) sachant que X ≥ 1,5
= p(X ≥ 0,5) = [tex]e^{-0.5*0.5}[/tex] = [tex]e^{-0.25}[/tex] ≈ 0,7788
