Réponse :
Explications étape par étape :
■ enfin du véritable boulot proposé par un élève sérieux ! ☺ ( pas un rigolo de seconde ! )
■ f(x) = x² exp(-2x) donne la dérivée
f ' (x) = 2x exp(-2x) - 2x² exp(-2x) = 2x(1-x) exp(-2x)
dérivée positive pour 0 < x < 1
donc la fonction f est croissante pour 0 < x < 1 .
■ tableau de variation et de valeurs :
x --> -∞ -2 0 0,5 1 4 +∞
varia -> décroiss. |croissante | décroissante
f(x) --> +∞ 218 0 0,092 0,135 0,005 0+
■ 2°) I1 = 0,25 - (1,25/e²) = 0,08083 environ !
■ partie B 1a) :
In correspond à l' Aire comprise entre la courbe
et l' axe des abscisses pour 0 < x < 1
■ 1b) la Suite (In) doit être décroissante puisque f2(x) = f1(x) / (exp(2x))
( comme 0 ≤ x < 1 --> on a 1 ≤ exp(2x) < 7,389 )
■ 2a) fn+1(x) = x² exp(-2(n+1)x) = x² exp(-2nx) exp(-2x) = exp(-2x) * fn(x)
■ 2b) comme 0 ≤ x < 1 --> on a 1 ≤ exp(2x) < 7,389
donc on a bien fn+1(x) ≤ fn(x)
■ 2c) la Suite (In) est donc bien décroissante !
■ 3a) comme 0 ≤ x ≤ 1 --> on a 0 ≤ x² ≤ 1
et exp(-2x) est toujours positif ( ou nul )
donc on a bien 0 ≤ fn(x) ≤ exp(-2x)
