Réponse: Bonjour,
Exercice 15
a) [tex](x-2)^{2}+(y+3)^{2}=5[/tex] est par définition l'équation du cercle de centre [tex]\Omega(2;-3)[/tex], et de rayon [tex]\sqrt{5}[/tex].
b) On a:
[tex]x^{2}+y^{2}+6y+5=0\\(x-0)^{2}+(y+3)^{2}-9+5=0\\(x-0)^{2}+(y+3)^{2}=4[/tex]
Donc c'est l'équation du cercle de centre [tex]\Omega(0;-3)[/tex] et de rayon 2.
c) On a:
[tex]\displaystyle x^{2}+y^{2}+4x-5y+30=0\\(x+2)^{2}-4+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}-\frac{25}{4}+30=0\\ (x+2)^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}+\frac{-16-25+120}{4}=0\\ (x+2)^{2}+\left(y-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{79}{4}[/tex]
Comme le membre de gauche est négatif, ce n'est pas l'équation d'un cercle.
De plus, on remarque que le membre de gauche est la somme de deux carrés, donc la somme est positive, et le membre de droite est négatif.
ll n'existe donc pas de points M(x;y), vérifiant l'équation.
Donc cet ensemble est l'ensemble vide.
d) On a:
[tex]\displaystyle x^{2}+y^{2}+3x+2y+4=0\\\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4}+(y+1)^{2}-1+4=0\\ \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}+\frac{-9-4+16}{4}=0\\ \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}=-\frac{3}{4}[/tex]
Pour la même raison, que la question c), il n'existe aucun point M(x;y), vérifiant la dernière équation précédente, donc l'ensemble est l'ensemble vide.
e) On a:
[tex]x^{2}+y^{2}+6x+2y+10=0\\(x+3)^{2}-9+(y+1)^{2}-1+10=0\\(x+3)^{2}+(y+1)^{2}=0[/tex]
C'est donc l'équation du cercle de centre [tex]\Omega(-3;-1)[/tex], et de rayon 0, donc seul le centre [tex]\Omega[/tex], appartient à l'ensemble.
f) On a:
[tex]\displaystyle 2x^{2}-5x+2y^{2}+6y=1\\ 2\left(x^{2}+y^{2}-\frac{5}{2}x+3y\right)=1\\ \left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}-\frac{25}{16}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{9}{4} =\frac{1}{2}\\ \left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25+36+8}{16}\\ \left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}+\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{69}{16}[/tex]
C'est donc l'équation du cercle de centre [tex]\displaystyle \Omega\left(\frac{5}{4};-\frac{3}{2}\right)[/tex] et de rayon [tex]\displaystyle \frac{\sqrt{69}}{4}[/tex].
Exercice 16
On a:
[tex]x^{2}+y^{2}-4x+8y+m=0\\(x-2)^{2}-4+(y+4)^{2}-16+m=0\\(x-2)^{2}+(y+4)^{2}=20-m[/tex]
Le membre de droite doit être strictement positif:
[tex]20-m > 0\\m < 20[/tex]
Donc pour [tex]m < 20[/tex], c'est l'équation d'un cercle de centre [tex]\Omega(2;-4)[/tex].
