Bonjour !
1) x est différent de 0 donc on peut mettre les fractions /x, et x est différent de 1 donc on peut mettre les fractions /(x-1).
[tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{x-1}{x(x-1)} + \frac{3x}{x(x-1)} = \frac{x-1+3x}{x(x-1)} = \frac{4x-1}{x(x-1)}[/tex]
2)
[tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} \geq 0 \\\\<=> \frac{4x-1}{x(x-1)} \geq 0\\\\[/tex]
<=> 4x-1 ≥ 0 et x(x-1) ≥ 0 OU 4x-1 ≤ 0 et x(x-1) ≤ 0
<=> x ≥ 1/4 et x(x-1) ≥ 0 OU x ≤ 1/4 et x(x-1) ≤ 0
Dans la première option, si x ≥ 1/4, alors x > 0, donc
x(x-1)≥0 <=> (x-1) ≥ 0/x = 0 <=> x ≥ 1. (donc x > 1 car x≠1)
Dans la deuxième option,
x ≤ 1/4 donc x-1 < 0 donc
x(x-1) ≤ 0 <=> x ≥ 0/(x-1) = 0 (donc x>0 car x≠0)
donc 0 < x ≤ 1/4.
Donc [tex]\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1} \geq 0[/tex] pour [tex]x \in ]0,\frac{1}{4}] \cup ]1,+\infty[[/tex].
N'hésite pas si tu as des questions :)
