Sagot :
Réponse : Bonjour,
A n=0 heure, il y a 5 litres de liant dans la cuve de peinture.
A n=1 heure, il y a [tex]\frac{5}{2}+5=\frac{5+10}{2}=\frac{15}{2}=7,5[/tex], donc 7,5 litres de liant, dans la cuve de peinture.
A n=2 heures, [tex]\frac{15}{2} \times \frac{1}{2}+5=\frac{15}{4}+\frac{20}{4}=\frac{35}{4}=8,75[/tex], donc 8,75 litres de liant, dans la cuve de peinture.
A n=3 heures, [tex]\frac{35}{4} \times \frac{1}{2}+5=\frac{35}{8}+\frac{40}{8}=\frac{75}{8}=9,375[/tex], donc 9,375 litres de liant, dans la cuve de peinture.
2) On a:
[tex]\displaystyle S_{n}=5\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n}+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}+1\right)=5 \times \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=10\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right)\\=10-10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}=10-5 \times 2 \times \frac{1}{2^{n+1}}=10-5 \times \frac{1}{2^{n}}=10-5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n}[/tex]
4) Il faut déterminer le plus petit entier naturel n, tel que [tex]S_{n} > 9,9[/tex]:
[tex]\displaystyle 10-5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} > 9,9\\-5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} > -0,1\\ 5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{n} < 0,1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n} < \frac{0,1}{5}\\ e^{n \ln(\frac{1}{2})} < 0,02\\\ln(e^{n \ln(\frac{1}{2})}) < \ln(0,02)\\ n \ln\left(\frac{1}{2}\right) < \ln(0,02)\\ -n \ln(2) < \ln(0,02)\\n > \frac{\ln(0,02)}{-\ln(2)} \approx 5,6[/tex]
Donc à partir de 6 heures, la quantité de liant dépassera 9,9 litres.
