Bonsoir, c'est assez difficile à interpréter, car littéralement, on se dirait que "Si j'ai pile avant, j'ai une chance sur deux, soit pile, soit face" mais tu as raison de douter.
Au 3e lancer, on a 8 branches possibles, notons P = Pile et F = Face. On a donc PPF, PFF, FFP, FPP qui conviennent, 4 branches sur 8 = 1/2.
En gros : On prend la 1re lettre P, on fixe la dernière F, et on compte les cas.
Pour 4e lancer, de la forme PXXF, FXXP. Parmi les XX, il y a 4 possibilités, PP, PF, FF, ou FP, c'est le nombre de combinaisons possibles 2^2 = 4. Ce qui ferait 8 chemins corrects sur 16, toujours 1 chance sur 2.
Pour 3 branches, 2^3 possibilités, etc, pour N branches on aura 2^N possibilités.
Tu remarqueras qu'en réalité, après avoir fixé P et F, les XX....XX entre P et F sont simplement des arbres de probabilités, avec le nombre de chemins possibles. Pour le 5e lancer, tu auras 3X entre les deux, donc pour PXXXF, ça donne 2^3 possibilités, et pour FXXXP, 2^3 aussi donc 16 au total.
Generalisons pour N lancers. Fixons P et F, tels que PXXX...XXF et FXXX...XXP, on aura (n-2) fois X de chaque côté. Le nombre de chemins possibles sera alors 2^(n-2) + 2^(n-2) = 2^(n-1).
Il y a donc, sur un total de 2^n possibilités, 2^(n-1) chemins, où le 1er lancer sera différent du dernier.
La probabilité sera donc p = 2^(n-1) / 2^n = 1/2.
