F est libre (famille de polynome de degré échelloné) et #F = dim R²[X] = 3 donc F est une base de R²[X].
Si on devait prouver que F est libre sans dire quel est de degré échelloné ça ferait ça (inutile dans ce cas mais faut faire ça quand on est dans R⁴ par exemple) :
Etudions la liberté de F. Soient λ, μ, η ∈ R on a:
λ*3 + μ*(7X²+X-5) + η*(8-2X) = 0
⇔(par unicité des coefficients d'un polynome)
{μ7 = 0
{μ-2η = 0
{λ3-5μ+8η = 0
⇔
{λ=0
{μ=0
{η=0
d'où F est libre.
