Enfin de l'algèbre linéaire.
1. On va écrire E sous la forme d'un Vect, pour celà résolvons son équation polynomiale.
Soit P∈R⁴[X]. On a:
{P(1)+P(-1) = 0
{P(2)+P(-2) = 0
⇔
{2a₀ + 2a₂ + 2a₄ = 0
{2a₀ + 8a₂ + 32a₄ = 0
⇔
{a₀ + a₂ + a₄ = 0
{ a₂ + 5a₄ = 0
⇔
{a₀ -4a₄ = 0
{ a₂ + 5a₄ = 0
⇔
{a₀ = 4a₄
{a₂ = -5a₄
Donc E = Vect[X, X³, 4-5X²+X⁴] E est donc un sev de R⁴[X] donc c'est un ev.
2. P∈E ⇔ P(1)+P(-1)=0 et P(2)=P(-2) ⇔
{a₀ = 4a₄
{a₂ = -5a₄.
(Je ne suis pas sur de comprendre cette question elle est un peu chelou)
3. Soit B = (X, X³, 4-5X²+X⁴), B est génératrice de E et est libre (polynome de degré échelloné) c'est donc une base de E.
