Réponse : Bonjour,
D'après une formule sur le produit scalaire:
[tex]\displaystyle \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} ||^{2}-||\overrightarrow{BA}||^{2}-||\overrightarrow{AC}||^{2} \right)=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{BC}||^{2}-||\overrightarrow{BA}||^{2}-||\overrightarrow{AC}||^{2}\right)\\\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\left(BC^{2}-BA^{2}-AC^{2} \right)=\frac{1}{2}\left(4^{2}-7^{2}-5^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(16-49-25 \right)=\frac{1}{2} \times (-58)=-29[/tex]Donc [tex]\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=-29[/tex]
En utilisant la même formule:
[tex]\displaystyle \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} ||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{BC}||^{2} \right)=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{AC}||^{2}-||\overrightarrow{AB}||^{2}-||\overrightarrow{BC}||^{2}\right)\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(AC^{2}-AB^{2}-BC^{2} \right)=\frac{1}{2}\left(5^{2}-7^{2}-4^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(25-49-16 \right)=\frac{1}{2} \times (-40)=-20[/tex]Donc [tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-20[/tex]
En utilisant une nouvelle fois, la même formule:
[tex]\displaystyle \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC} ||^{2}-||\overrightarrow{CA}||^{2}-||\overrightarrow{BC}||^{2} \right)=\frac{1}{2}\left(||\overrightarrow{BA}||^{2}-||\overrightarrow{CA}||^{2}-||\overrightarrow{BC}||^{2}\right)\\\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(BA^{2}-CA^{2}-BC^{2} \right)=\frac{1}{2}\left(7^{2}-5^{2}-4^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(49-25-16 \right)=\frac{1}{2} \times 8=4[/tex]
