Réponse :
1)
a. 8 centaines objets avec 2.25 milliers €
b. pas de bénéfice de 3 000 €
2)
a. voir explications
b. voir explications
3) voir explications
Explications étape par étape
1)
a. l'entreprise A c'est f(x) = -0.25 * (x-8)^2 + 9
mettons l'équation sous la forme (c + d) * (c - d) ou c = x - 8 et d = 3^2
f(x) = -0.25 * (x - 8 + 3) * (x - 8 - 3) = -0.25 * (x - 5) * (x - 11)
f(x) = -0.25 * (x^2 - 16x + 55) alors a = 1 b = -16 et c = 55
trouvons l'abscisse x (quantité maximale à produire) avec -(b/2a)
c-à-d - ( -16 / 2 * 1 ) = - ( -16 / 2 ) = 8
donc 8 centaines objets
remplaçons le x par 8 dans f(x)
-0.25 * ( 8 - 5) * ( 8 - 11) = -0.25 * 3 * (-3) = -0.25 * -9 = 2.25 milliers €
donc bénéfice maximal 2.25 milliers €
b. les solutions de l'équation f(x) sont 5 et 11 et que son bénéfice maximal est de 2.25 milliers € avec 8 centaines objets vendus il est impossible d'aller au delà des 2.25 milliers € donc pas de bénéfice de 3 000 €, la quantité est limitée à 12 centaines objets il en reste 4 centaines objets à vendre pour l'entreprise B
2)
a. l'entreprise B g(x) = x - 2
comme il y a 12 centaines objets à calculer
g(0) = -2 g(1) = -1 g(2) = 0 g(3) = 1 g(4) = 2 g(5) = 3 g(6) = 4 g(7) = 5
g(8) = 6 g(9) = 7 g(10) = 8 g(11) = 9 g(12) = 10
b. pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal l'entreprise A vend 8 centaines objets avec 2.25 milliers € et pour l'entreprise B (12 - 8) il lui reste
4 centaines objets à vendre donc g(4) = 2 c-à-d 8 + 4 = 12 centaines objets et 2.25 + 2 = 4.25 milliers euros de chiffre d'affaires
3)
faisons f(x) pour x de 5 à 11
f(5) = -0.25 * (5 - 5) * ( 5 -11) = 0
f(6) = -0.25 * (6 - 5) * ( 6 - 11 ) = -0.25 * 1 * -5 = 1.25
f(7) = -0.25 * (7 - 5) * ( 7 - 11 ) = -0.25 * 2 * -4 = 2
f(8) = -0.25 * ( 8 - 5 ) * ( 8 - 11 ) = -0.25 * 3 * -3 = 2.25
f(9) = -0.25 * ( 9 - 5 ) * ( 9 - 11 ) = -0.25 * 4 * -2 = 2
f(10) = -0.25 * ( 10 - 5 ) * ( 10 - 11 ) = -0.25 * 5 * -1 = 1.25
f(11) = -0.25 * ( 11 - 5 ) * ( 11 - 11 ) = -0.2 * 6 * 0 = 0
on voit que l'entreprise A doit vendre 6 ou 10 centaines objets pour qu'il réalise un bénéfice strictement inférieur au bénéfice de l'entreprise B donc pour ne pas dépasser 12 centaines objets sinon
6 pour A et 6 pour B ou
7 pour A et 5 pour B
pour faire 12 comme il est indiqué dans l'énoncé