Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
1)
je note l'angle [tex]\alpha[/tex]
Nous savons que AB = 4 et cos([tex]\alpha[/tex]) = AB/AD
sur cet intervalle [0; [tex]\pi[/tex]/2[ le cosinus ne s'annule pas
Donc
AD = AB / cos([tex]\alpha[/tex])
AD = 4 / cos([tex]\alpha[/tex])
Or sin([tex]\alpha[/tex]) = BD/AD
donc sin([tex]\alpha[/tex]) = BD * cos([tex]\alpha[/tex])
donc BD = 4 sin([tex]\alpha[/tex])/cos([tex]\alpha[/tex])
BD = 4 tan([tex]\alpha[/tex])
CD = CB + BD = 7 + 4 tan([tex]\alpha[/tex])
vitesse = distance / temps
donc temps = distance / vitesse
= 4 / ( 30 000 * cos([tex]\alpha[/tex]))
= ( 7 + 4 tan([tex]\alpha[/tex]) ) / 60 000
2)
Le chien aura traversé la route avant le passage du camion si [tex]t_2 - t_1 > 0[/tex]
or [tex]t_2 - t_1 = ( 7/2 + 2 tan(\alpha) - 4 / cos(\alpha) ) * 1/ 30 000[/tex]
donc cela revient à étudier le signe de f([tex]\alpha[/tex]) pour [tex]\alpha[/tex] compris entre 0 et [tex]\pi[/tex]/2
3)
a)
[tex]tan(\alpha ) = \frac{sin(\alpha )}{cos(\alpha )}[/tex]
c'est donc de la forme u/v , la dérivée est u'v-uv'/ v^2
cette fonction est dérivable sur [0; [tex]\pi[/tex]/2[ et sa dérivee vaut
[tex]cos(\alpha )cos(\alpha )-sin(\alpha )*(-sin(\alpha )) / cos^2(\alpha )\\= (cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha )) / cos^2(\alpha )\\\ or \ cos^2(\alpha ) + sin^2(\alpha) = 1[/tex]
donc la dérivée de tan est la fonction qui a x associe [tex]1/cos^2(\alpha )[/tex]
b)
f est dérivable sur [0; [tex]\pi[/tex]/2[ et sa dérivee vaut
f'([tex]\alpha[/tex]) = 2/cos^2([tex]\alpha[/tex]) - 4sin([tex]\alpha[/tex])/cos^2([tex]\alpha[/tex])
f'([tex]\alpha[/tex]) = (2 - 4 sin([tex]\alpha[/tex])) / [tex]cos^2(\alpha )[/tex]
f'([tex]\alpha[/tex]) = 2(1 - 2 sin([tex]\alpha[/tex])) / [tex]cos^2(\alpha )[/tex]
sin() est croissante sur [0; /2[
et sin([tex]\alpha[/tex]) = 1/2 pour [tex]\alpha[/tex] = /4
donc f'([tex]\alpha[/tex]) est positive sur [0; [tex]\pi[/tex]/4]
nulle en [tex]\pi[/tex]/4 et
négative sur [[tex]\pi[/tex]/4;[tex]\pi[/tex]/2[
Donc f est croissante sur [0; [tex]\pi[/tex]/4] puis décroissante sur [[tex]\pi[/tex]/4;[tex]\pi[/tex]/2[
[tex]f(\frac{\pi}{4}) = 7/2+2-8 = (7-6*2)/2 = -5/2[/tex]
donc f est négative sur [0; [tex]\pi[/tex]/2[
donc on peut en conclure "et Paf le chien !"
le chien n'aura pas traversé la route avant le passage du camion...
