Réponse :
Bonjour
1) voir figure en pièce jointe
2) Un vecteur directeur de (BC) est : BC(6+3/2 ; -4-1) ⇔ BC(15/2 ; -5)
Une équation cartésienne de (BC) est donc :
-5x - (15/2)y + c = 0
Utilisons les coordonnées du point C pour déterminer la valeur de c
-5×6 - (15/2)×(-4) + c = 0 ⇔ -30 + 30 + c = 0 ⇔ c = 0
Une équation de (BC) est donc : -5x -(15/2)y = 0
que l'on peut simplifier en multipliant par (-2/5),
ce qui donne : 2x + 3y = 0
3) Soit u un vecteur normal à (BC).On a u(2; 3)
la hauteur (h) est perpendiculaire à (BC) ,donc u est un vecteur directeur de (h)
Une équation de (h) est donc : 3x - 2y + c = 0
Utilisons les coordonnées de A pour déterminer la valeur de c
⇔ 3×(7/2) - 2×2 + c = 0
⇔ 21/2 - 4 + c = 0
⇔ 13/2 + c = 0
⇔ c = -13/2
Une équation cartésienne de (h) est donc : 3x - 2y - 13/2 = 0
Multiplions par 2 pour se débarrasser des demis
On obtient (h) : 6x - 4y - 13 = 0
4) 2x + 3y = 0 ⇔ 2x = -3y ⇔ x = (-3/2)y
6x - 4y - 13 = 0 6x - 4y - 13 6x - 4y - 13 = 0
⇔ x = (-3/2)y ⇔ x = (-3/2)y ⇔ x = (-3/2)y
6(-3/2)y - 4y - 13 = 0 -9y - 4y - 13 = 0 -13y = 13
⇔ x = (-3/2)y ⇔ x = 3/2
y = -1 y = -1
Nous venons de déterminer les coordonnées du point H(3/2 ; -1), intersection de (BC) et de (h)
5) longueur BC = √[(6+3/2)²+(-4-1)²] = √[(15/2)² + 5²] = √(225/4+25)
BC = √325/4 = √325/2 = 5√13/2 cm
longueur AH = √[(3/2 - 7/2)² + (-1-2)²] = √(4 +9) = √13 cm
Aire de ABC = (5√13/2 × √13)/2 = 65/4 = 16,25 cm²
6) ABCD parallélogramme ⇔ vecteur AB = vecteur DC
Soit D(x ; y)
AB(-3/2 - 7/2 ; 1-2) ⇔ AB(-5 ; -1)
et DC(6-x ; -4-y)
6-x = -5 et -4-y = -1
⇔ x = 11 et y = -3
⇔ D(11 ; -3)
Aire ABCD = BC × AH = 5√13/2 × √13 = 65/2 = 32,5 cm²
