Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
pour k réel non nul
[tex]f_k(x)=\frac{k}{3}x^3-kx^2+x-1[/tex]
1)
f est dérivable car c'est une fonction polynomiale
et pour tout réel x
[tex]f_k'(x) =kx^2-2kx+1[/tex]
2)
a) Résoudre [tex]kx^2-2kx+1 = 0[/tex]
Discriminant = [tex]4k^2-4k=4k(k-1)[/tex]
si discriminant est négatif il n y a pas de solution
si le discriminant est nul il y a une solution [tex]x_0=\frac{2k}{2k} =1[/tex]
si le discriminant est positif il y a deux solutions x_1 et x_2
[tex]x_2 = \frac{2k+\sqrt{4k(k-1)}}{2k} = 1 + \frac{\sqrt{k(k-1)}}{k} = 1 + \sqrt{\frac{k-1}{k}}[/tex]
[tex]x_1 = \frac{2k-\sqrt{4k(k-1)}}{2k} = 1 - \sqrt{\frac{k-1}{k}}[/tex]
Nous pouvons écrire le tableau de signe du discriminant
k - 0 + 1 +
k-1 - -1 - 0 +
4k(k-1) + 0 - 0 +
De ce fait pour k dans [tex]]-\infty;0[[/tex]
il y a deux solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]
pour k dans ]0;1] il n'y a pas de solution
pour k dans [tex][1;+\infty[[/tex] il y a deux solutions [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex]
b)
pour k dans ]0;1]
[tex]f_k'(x)[/tex] est du signe de k, donc est positive
pour k = 1 [tex]f_1'(x)=x^2-2x+1 = (x-1)^2[/tex]
[tex]f_1'(x) >= 0[/tex]
Enfin pour k>=1
x x_1 x_2
[tex]f_k'(x)[/tex] + 0 - 0 +
pour k <=0
x x_1 x_2
[tex]f_k'(x)[/tex] - 0 + 0 -
c)
pour k dans ]0;1]
[tex]f_k'(x)[/tex] est du signe de k, donc est positive
[tex]f_k[/tex] est croissante
Enfin pour k>=1
x x_1 x_2
[tex]f_k'(x[/tex]) + 0 - 0 +
[tex]f_k[/tex] croissante décroissante croissante
pour k <=0
x x_1 x_2
[tex]f_k[/tex] décroissante 0 croissante 0 décroissante
