Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
a)
soit la fonction f qui a x réel associe [tex]f(x) = -x^2+10x+1[/tex]
[tex]u_n=f(n)[/tex]
f est dérivable et f'(x)=-2x+10
f'(x) = 0 pour x=5
f est donc croissante sur[tex]]-\infty;5][/tex]
f est décroissante sur [tex][5;+\infty[[/tex]
donc la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante pour n supérieure a 5
b)
soit la fonction f qui a x réel supérieur à 1 associe f(x) = x/2+2/x
[tex]u_n=f(n)[/tex]
f est dérivable et [tex]f'(x)=1/2-2/x^2 = \frac{x^2-4}{2x^2} = \frac{(x-2)(x+2)}{2x^2}[/tex]
f'(x) = 0 pour x=-2 ou x = 2
f est croissante sur [tex][2;+\infty[[/tex]
donc la suite [tex](u_n)[/tex] est croissante pour n supérieure a 2
c)
soit la fonction f qui a x réel associe [tex]f(x) = x^3-9x^2-3[/tex]
[tex]u_n=f(n)[/tex]
f est dérivable et [tex]f'(x)=3x^2-18x = x(3x-18) = 3x(x-6)[/tex]
f'(x) = 0 pour x=0 ou x = 6
f est donc croissante sur [tex][6;+\infty[[/tex]
donc la suite [tex](u_n)[/tex] est croissante pour n supérieure à 6
d)
soit la fonction f qui a x réel supérieur à 1 associe [tex]f(x) = \sqrt(2x-4)[/tex]
[tex]u_n=f(n)[/tex]
pour x différent de 2
f est dérivable et [tex]f'(x)=1/2*2/\sqrt(2x-4) = \sqrt(2x-4) / (2x-4)[/tex]
2x-4 = 0 pour x = 2
f est croissante sur [tex][2;+\infty[[/tex]
donc la suite [tex](u_n)[/tex] est croissante pour n supérieure a 2
