Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
exo 94
sur [tex][1;+\infty[[/tex]
[tex]f(x)=4\sqrt{x} - x -4[/tex]
a)
pour tous réels x supérieur a 1
[tex]f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{x}}-1[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-1[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}[/tex]
c'est ce qu'il fallait démontrer
b)
f'(x) = 0 pour [tex]\sqrt{x}=2[/tex]
donc x = 4
pour 1 <= x <= 4 f'(x) >= 0
pour x >= 4 f'(x) <= 0
donc f est croissante sur [1;4]
et décroissante sur [tex][4;+\infty[[/tex]
c)
De ce fait, f atteint son maximum en x = 4 sur [tex][1;+\infty[[/tex]
et [tex]f(4) = 4*\sqrt{4}-4-4 = 8-8 = 0[/tex]
d)
Ainsi f(x) <= 0 pour x >=1
Exo 95
1)
f est dérivable sur R car c'est une fonction polynomiale
et pour tout x réels
[tex]f'(x)= 3x^2-48[/tex]
f'(x) = 0 donne [tex]x^2 = 48/3 = 16[/tex]
soit x = -4 ou x = 4
Donc pour x <= -4, f'(x) >= 0, f croissante
pour -4 <= x <= 4, f'(x) <= 0, f décroissante
pour x >= 4, f'(x) >=0, f croissante
2)
a) f(-8)= 512 - 384 + 128 = 0
b) Nous cherchons les x réels tels que [tex]x^3 > 48x-128[/tex] ce qui s'écrit aussi
f(x) > 0
D'après les variations de la fonction f comme f(-2) = 216 et f(2)= 40 et f(-8)=0
Donc f(x) > 0 pour x > -8
