Réponse : Bonsoir,
4) D'après ce qui précède:
[tex]\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{BD}[/tex]
En factorisant, on a que:
[tex]\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DE}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD})[/tex]
Or D est le milieu de [BC], donc [tex]\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}[/tex]
On en déduit que [tex]\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}[/tex]
Donc:
[tex]\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DE}(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{DE}.\overrightarrow{0}=0[/tex]
Donc :
[tex]2\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BE}=0[/tex]
Comme [tex]2\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BE}=2(\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BE})=0[/tex], alors [tex]\overrightarrow{AF}.\overrightarrow{BE}=0[/tex].
Les droites (AF) et (BE) sont donc perpendiculaires.
