Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1)
Méthode classique:
[tex]\int {ln(1+x)} \, dx \\\\=x*ln(1+x)-\int {\dfrac{x}{1+x} } \, dx \\\\=x*ln(1+x)-\int {\dfrac{1+x-1}{1+x}} \, dx \\\\=x*ln(1+x)-x+\int {\dfrac{1}{1+x}} \, dx \\\\=x*ln(1+x)-x+ln(1+x)+C\\\\=(x+1)*ln(1+x) -x +C\\[/tex]
Méthode de l'exercice:
[tex]f(x)=ln(1+x)\\\\F(x)=a(1+x)*ln(1+x)+bx\\\\F'(x)=a*1*ln(1+x)+a*(1+x)*\dfrac{1}{1+x} +b\\\\=a*ln(1+x)+a+b\\=ln(1+x)\\\Longrightarrow\ a=1\ et\ a+b=0\\\Longrightarrow\ a=1\ et\ b=-1\\\\\boxed{I_1=[(1+x)*ln(1+x)-x]_0^1}\\\\=2*ln(2)-1-(ln(1)-0)\\=2*ln(2)-1\\[/tex]
