Réponse :
Bonjour
1) f est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme de fonctions de référence dérivables sur ]0; +∞[
f'(x) = 1 + 1/x²
f'(1) = 1 + 1/1² = 2
La tangente à Cf au point d'abscisse 1 a pour équation :
y = f'(1)(x-1)+f(1)
y=2(x-1)+1
y= 2x - 1
2a)
g'(x) = -1 + 1/x² pour x > 0
[tex]g'(x) =\frac{-x^{2} }{x^{2} } +\frac{1}{x^{2}} \\g'(x) = \frac{1-x^{2} }{x^{2} } \\g'(x) = \frac{(1-x)(1+x)}{x^{2} }[/tex]
2b)
Pour x > 0 :
x² >0
1+x >0
g'(x) est du signe de (1-x)
1-x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1
g'(x) est positive sur ]0;1] donc g est croissante sur ]0; 1]
g'(x) est négative sur [1; +∞[ donc g est décroissante sur [1; +∞[
x |0 1 +∞
g'(x) || + 0 -
g || ↗ 0 ↘
2c)
Etudions le signe de f(x) - y
f(x) - y = 1 + x - 1/x - (2x-1)
f(x) - y = 1 + x - 1/x -2x + 1
f(x) - y = 2 - x - 1/x
f(x) - y = g(x)
D'après le tableau de variation de la fonction g,
g(x) ≤ 0 sur ]0; +∞[
f(x) - y ≤ 0
f(x) ≤ y sur ]0; +∞[
La courbe représentative de f est en dessous de la tangente T au point d'abscisse 1 sauf en x=1 où Cf et T sont confondues.