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Bonjour je n'arrive pas a faire cet exercice pouvez vous m'aider

Un jeton est placé sur l’origine d’un repère du plan. On lance deux pièces de monnaie équilibrées
successivement et on déplace le jeton en deux temps : si la première pièce donne « Pile », l’abscisse du jeton
augmente de 1, et sinon, elle diminue de 1 ; si la seconde pièce donne « Pile », l’ordonnée du jeton augmente
de 1, sinon, elle diminue de 1.
Après ce déplacement, on relance les deux pièces de monnaie et on déplace à nouveau le jeton à partir de sa
nouvelle position de la même manière qu’au premier lancer.
On note X, l’abscisse du point où se trouve ce jeton après ces deux doubles lancers et déplacements et Y, son
ordonnée.
1) Déterminer les lois de probabilités de X et Y. Justifier.
2) Soit A et B, les évènements respectifs (X = 0) et (Y = 0) : déterminer les probabilités des évènements
A ∩ B et A ∪ B.
3) Déterminer la probabilité de l’évènement (Y = X).

Sagot :

Réponse : Bonjour,

1) i) Loi de probabilité de X.

Après ces doubles deux lancers, les différentes possibilités pour la première pièce est, en notant P:Pile, F: Face: PP, PF, FP, FF.

Dans le cas PP, l'abscisse de X est 2. Pour les cas PF, FP, l'abscisse de X est 0. Enfin, pour le cas FF, l'abscisse de X est -2.

Donc la loi de probabilité de X est:

X   |    -2     |    0     |      2       |

P(X)|    [tex]\frac{1}{4}[/tex]           [tex]\frac{1}{2}[/tex]            [tex]\frac{1}{4}[/tex]

ii) Loi de probabilité de Y.

Après ces deux doubles lancers, différentes possibilités pour la deuxième pièce, sont comme pour la première pièce: PP, PF, FP, FF.

Dans le cas PP, l'ordonnée de Y est 2. Pour les cas PF, FP, l'ordonnée de Y est 0. Pour le cas, FF, l'ordonnée de Y est -2.

Y    |        -2          |            0           |              2             |

P(Y)         [tex]\frac{1}{4}[/tex]                         [tex]\frac{1}{2}[/tex]                           [tex]\frac{1}{4}[/tex]

2) Les évènements A et B sont indépendants, car les positions se X et Y sont déterminées par les lancers de deux pièces différentes, donc ne dépendent pas l'une de l'autre.

Donc:

[tex]\displaystyle P(A \cap B)=P(A) \times P(B)=P(X=0) \times P(Y=0)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/tex]

Déterminons [tex]P(A \cup B)[/tex]:

[tex]\displaystyle P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex]

3) L'évènement (Y=X) est composé des évènements [tex](X=0) \cap (Y=0), (X=-2) \cap (Y=-2), (X=2) \cap (Y=2)[/tex].

La probabilité de l'évènement [tex](X=0) \cap (Y=0)[/tex] a été déterminée dans la question précédente.

Il faut donc calculer la probabilité des deux évènements restants.

Calculons d'abord [tex]P((X=-2) \cap (Y=-2))[/tex].

Comme dit plus haut, les positions de X et Y sont indépendantes l'une de l'autre, donc:

[tex]\displaystyle P((X=-2) \cap (Y=-2))=P(X=-2) \times P(Y=-2)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}[/tex]

Calculons enfin, [tex]P((X=2) \cap (Y=2))[/tex]:

[tex]\displaystyle P((X=2) \cap (Y=2))=P(X=2) \times P(Y=2)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}[/tex]

Donc:

[tex]\displaystyle P(Y=X)=P((X=0) \cap (Y=0))+P((X=-2) \cap (Y=-2))+P((X=2) \cap (Y=2))=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=\frac{4+1+1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}[/tex]