Réponse:
Partie A
1. f(x) ≤ 0 sur ]0; 1/e]
f(x) ≥ 0 sur [1/e; 5]
2.
f est positive et continue sur [1;e]
A = ∫₁ᵉ f(x)dx = F(e) - F(1) = 3/2 - 0 = 1,5 u.a.
Partie B
1.
f'(x) = [1/x × x - 1×(1+ln(x))]/x²
f'(x) = - ln(x) /x²
x² > 0 sur ]0;5] donc f'(x) est du signe de - ln(x)
-ln(x) ≥ 0 sur ]0;1] donc f est croissante sur ]0;1]
- ln(x) ≤ 0 sur [1;5] donc f est decroissante sur [1;5]
x |0 1 5
f'(x) || + 0 -
|| 1
f || ↗ ↘
||-∞ f(5)
f(5) = (1+ln5)/5
pour les Tales S :@
lim(1+lnx) = -∞ et lim x = 0+ donc lim f(x) = -∞
0 0 0
Sur [1;5], f(x) > 0 donc l'equation f(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur ]0;1] f est continue strictement croissante et 0 appartient à l'intervalle image ]-∞; 1].
D'apres le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'equation f(x)=0 admet une unique solution α sur ]0;1] donc également sur ]0;5].
[1 + ln(α)]/α = 0
1 + ln(α) = 0
ln(α) = -1
α = e⁻¹
α = 1/e
On retrouve f(1/e) = 0 du tableau de valeur.
3a) F'(x) = 1/x ×(1 + ½ln(x)) + ln(x) × 1/(2x)
F'(x) = 1/x + ln(x)/(2x) + ln(x)/(2x)
F'(x) = [2+2ln(x)]/(2x)
F'(x) = [1+ln(x)]/x
F'(x) = f(x)
3b
∫₁ᵉ f(x)dx = F(e) - F(1)
∫₁ᵉ f(x)dx = (1+½) - 0
∫₁ᵉ f(x)dx = 3/2
f est continue et positive sur [1;e]
∫₁ᵉ f(x)dx est l'aire du domaine compris entre Cf et les droites d'équation y=0, x=1 et x=e exprimée en unité d'aire.
Partie C
B(q) ≥ 0 quand f(x) ≥0
B(q) ≥ 0 pour q ≥ 1/e
1/e ≈ 0,37
l'entreprise doit produire au minimum 37 unités pour atteindre le seuil de rentabilité.
