Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Il nous faut l'aire totale de cette boîte.
On va d'abord exprimer h en fonction de "r".
Volume de cette boîte=pi*r²*h=1 dm³ (avec "r" en dm)
Donc : h=1/pi*r² ( h en dm)
Longueur de la partie rectangulaire du patron=périmètre du cercle=2*pi*r
Aire de la partie rectangulaire=2*pi*r*h=2pi*r*/(pi*r²)
On simplifie par "r" et "pi".
Aire rectangle=2/r
Aire des deux cercles=2*pi*r²
Aire totale=A(r)=2*pi*r²+2/r
On va chercher le minimum de la fct A(r).
A '(r)=4pi*r-2/r²
A '(r)=(4pi*r³-2) / r²
A '(r) est du signe de : 4pi*r³-2=2(2pi*r³-1)
donc du signe de : 2pi*r³-1.
La fct cube f(x)=ax³ avec a > 0 est croissante.
2*pi*r³-1=0 donne :
r³=1/(2*pi)
r³ ≈ 0.159155
r ≈ ∛0.159155
r ≈ 0.5419
Donc A '(x) < 0 sur [0;0.5419] puis > 0 ensuite.
x--------->0........................0.5419.....................+inf
A '(x)---->..............-.............0................+.................
A (x)------>............D.............?.................C................
D=flèche qui descend.
C=flèche qui monte.
L'aire est minimale pour r≈ 0.5419 dm soit r≈ 5.42 cm
et h=1/(pi*0.55419)²≈ 1.0840 dm soit h ≈ 10.84 cm.
