Réponse : Bonjour,
Pour déterminer les coordonnées de A et B, il faut résoudre l'équation:
[tex]\displaystyle -\frac{2}{9}x^{2}+8=0\\ -\frac{2}{9}x^{2}=-8\\\frac{2}{9}x^{2}=8\\x^{2}=8 \times \frac{9}{2}=4 \times 9=36\\x=-6 \quad ou \quad x=6[/tex]
Comme B est le point d'abscisse négative, alors l'abscisse de B est -6.
Comme B est sur l'axe des abscisses, alors B(-6;0).
On en déduit que A(6;0).
H est le projeté orthogonal de P sur (AB), donc H(x;0).
L'aire [tex]\mathcal{A}[/tex], du triangle bleu APH est:
[tex]\displaystyle \mathcal{A}=\frac{BH \times HP}{2}\\BH=\sqrt{(x+6)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{(x+6)^{2}}=|x+6|[/tex]
Comme le point P se déplace entre A et B, alors [tex]-6 \leq x \leq 6[/tex], et sur cet intervalle [tex]x+6 \geq 0[/tex], donc [tex]|x+6|=x+6[/tex].
On en déduit que BH=x+6.
On calcule maintenant HP:
[tex]\displaystyle HP=\sqrt{(x-x)^{2}+\left(-\frac{2}{9}x^{2}+8-0\right)^{2}}=\sqrt{\left(-\frac{2}{9}x^{2}+8\right)^{2}}=\left|-\frac{2}{9}x^{2}+8\right|[/tex]
Or, P est entre les points B et A, dont les abscisses sont racines du polynôme du second degré, le signe de celui-ci est positif ou nul, pour [tex]-6 \leq x \leq 6[/tex].
Donc [tex]\displaystyle HP=\left|-\frac{2}{9}x^{2}+8\right|=-\frac{2}{9}x^{2}+8[/tex].
L'aire du triangle bleu APH est donc:
[tex]\displaystyle\mathcal{A}=\frac{(x+6)(-\frac{2}{9}x^{2}+8)}{2}=\frac{-\frac{2}{9}x^{3}+8x-\frac{4}{3}x^{2}+48}{2}=-\frac{1}{9}x^{3}-\frac{2}{3}x^{2}+4x+24[/tex]
Il faut donc minimiser [tex]\mathcal{A}[/tex], on introduit donc la fonction [tex]\displaystyle f(x)=-\frac{1}{9}x^{3}-\frac{2}{3}x^{2}+4x+24[/tex].
On calcule sa dérivée f':
[tex]\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{9} \times 3x^{2}-\frac{2}{3} \times 2x+4=-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+4[/tex]
On étudie le signe de f'(x), pour cela, on calcule son discriminant:
[tex]\displaystyle \Delta=\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4 \times -\frac{1}{3} \times 4=\frac{16}{9}+\frac{16}{3}=\frac{16+48}{9}=\frac{64}{9}\\x_{1}=\frac{\frac{4}{3}-\sqrt{\frac{64}{9}}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{4}{3}-\frac{8}{3}}{-\frac{2}{3}}=-\frac{4}{3} \times -\frac{3}{2}=2\\x_{2}=\frac{\frac{4}{3}+\sqrt{\frac{64}{9}}}{-\frac{2}{3}}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{8}{3}}{-\frac{2}{3}}=\frac{12}{3} \times -\frac{3}{2}=-6[/tex]
D'après les règles sur le signe d'un trinôme du second degré, on a le tableau suivant:
x -6 2 6
f'(x) Ф + Ф -
f(x) (croissante) (décroissante)
On en déduit que f admet un maximum en x=2.
Donc l'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] est maximale pour x=2. Donc l'abscisse du point P telle que l'aire du triangle bleu APH est maximale est x=2, et son ordonnée est:
[tex]\displaystyle -\frac{2}{9} \times 2^{2}+8=-\frac{8}{9}+8=\frac{-8+72}{9}=\frac{64}{9}[/tex]
Donc pour [tex]\displaystyle P\left(2;\frac{64}{9}\right)[/tex], l'aire du triangle bleu APH est maximale.