je suis en prepa mpsi on suppose que f est continue sur [0,+infini[ et possede une limite l en +infinie motrer que la restraction de f sur [0,+infini[ est bornée et uniformement continue sur [0,+infini[
Choisissons un epsilon de valeur arbitraire.
Puisque f a une limite l en plus l'infini, il existe donc une valeur Y telle que pour x>Y, on a:
l-epsilon < f(x) < l+epsilon
f est donc bornée sur [Y; +infini[
Comme f est continue sur [0;Y], qui est un intervalle fermé, elle est donc bornée sur cet intervalle.
Le raisonnement est un peu similaire pour la continuité uniforme.