Bonjour pourriez-vous m'aidez pour ce DM maths niveau 1ère

Le but de ce problème japonais appelé Sangaku est de déterminer le rayon r des petits cercles.

La courbe est la parabole d’équation y = 2x^2.

• Ω est l’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite (ΩA)
xΩ = 0 et les coordonnées de Ω vont vériﬁer une équation de la droite (ΩA).
• Le cercle de centre Ω passant par A admet pour tangente en A la meme tangente que la parabole en A. On rappelle que la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon en ce point
Pour déterminer une équation de la droite (ΩA), nous allons utiliser le point A(a,2a^2) un vecteur normal qui est un vecteur directeur de la tangente à la parabole en A, vu que cette tangente est orthogonale à (ΩA)
• La distance ΩA et l’ordonnée yΩ de Ω peuvent s’exprimer en fonction de r
ΩA = 4r yΩ = 6r.
Nous avons trois inconnues, yΩ,a et r et trois équations. Nous devons supprimer en priorité yΩ et a aﬁn de calculer r.

Merci d'avance

Question

Answered

Sagot :

CAYLUS CAYLUS · Answer 1 · 2020-04-05T18:12:08+02:00

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

La parabole a pour équation y=2x².

Soit A le point de la parabole d'abscisse a

A=(a,2a²)

I le centre du grand cercle a pour coordonnée (0,6r)

B=(0,2r)

Equation de la tangente à la parabole en A:

y'=4x

m=y'(a)=4a

Equation de la normale en A:

m'=-1/(4a)

y-2a²=(x-a)*(-1/4a)

y=-x/4a+1/4+2a²

Coordonnée du point I:

x=0, y=2a²+1/4 =6r ==> a²=(24r-1)/8

IA²=(a-0)²+(2a²-(2a²+1/4))²=a²+1/16

IB²=(6r)²=36r²=a²+1/16

36r²=(24r-1)/8+1/16

256r²-48r+1=0

[tex]r=\dfrac{48-16*\sqrt{5}} {2*256} =\dfrac{3-\sqrt{5}}{32} \ non\ valable\\\\\ ou \ x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{32}\approx{0.1636271242....}\\\\x=[/tex]