Réponse : Bonsoir,
Exercice 39
a)
[tex]\displaystyle \phi'(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \times -\frac{2t}{2}e^{-\frac{t^{2}}{2}}=-\frac{t}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}[/tex]
b)
[tex]\displaystyle \phi''(t)=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}-te^{-\frac{t^{2}}{2}} \times -\frac{t}{\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(-e^{-\frac{t^{2}}{2}}+t^{2}e^{-\frac{t^{2}}{2}}\right)\\=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(e^{-\frac{t^{2}}{2}}(t^{2}-1)\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}(t-1)(t+1)[/tex]
Comme [tex]\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}} > 0[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex], alors [tex]\phi''(t)[/tex] est du signe de (t-1)(t+1), donc:
t -∞ -1 1 +∞
t-1 - - Ф +
t+1 - Ф + +
[tex]\phi''(t)[/tex] + Ф - Ф +
c) Pour déterminer le ou les points d'inflexion, il faut résoudre l'équation [tex]\phi''(t)=0[/tex]:
[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{t^{2}}{2}} (t-1)(t+1)=0\\ (t-1)(t+1)=0\\t-1=0 \quad ou \quad t+1=0\\t=1 \quad ou \quad t=-1[/tex]
Il existe donc deux points d'inflexion, dont les abscisses sont [tex]\alpha_{1}=-1[/tex] et [tex]\alpha_{2}=1[/tex].
d) La fonction [tex]\phi(t)[/tex] est la densité de la loi normale de moyenne 0 et de variance 1.
Donc la variable aléatoire X, suit la loi normale de moyenne 0 et de variance 1.
A la calculatrice, on trouve que:
[tex]P(X \in \{\alpha_{1}; \alpha_{2}\})=P(X \in \{-1;1\}) \approx 0,8163[/tex]