Bonjour,
Exercice 1
La première aire colorée en partant de la gauche est égale à :
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) \; dx-\int_{0}^{3} 3x \; dx=\int_{0}^{3} -x^{2}+6x \; dx-\int_{0}^{3} 3x \; dx=\left[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{6x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}-\left[\frac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=-\frac{3^{3}}{3}+\frac{6 \times 3^{2}}{2}-\frac{3 \times 3^{2}}{2}=-9+27-\frac{27}{2}=-9+27-13,5=18-13,5=4,5[/tex]
La deuxième aire colorée correspond à la différence du rectangle formé par les points de coordonnées (3;0), (6;0), (6;9), (3;9), et l'aire entre la courbe de f et l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=3, et x=6, c'est à dire [tex]\int_{3}^{6} f(x) \; dx[/tex].
L'aire du rectangle précédent est égale à [tex]3 \times 9=27[/tex].
On calcule maintenant l'intégrale précédente:
[tex]\displaystyle \int_{3}^{6} f(x) \; dx=\int_{3}^{6} -x^{2}+6x \; dx=\left[-\frac{x^{3}}{3}\right]_{3}^{6}+\left[\frac{6x^{2}}{2}\right]_{3}^{6}=-\frac{6^{3}}{3}+\frac{3^{3}}{3}+3 \times 6^{2}-3 \times 3^{2}=-72+9+108-27=18[/tex]
La deuxième aire colorée est donc égale à 27-18=9.
Donc la valeur exacte en unités d'aire de l'aire colorée est égale à 9+4,5=13,5 unités d'aire.
Exercice 2
1) On a:
[tex]\displaystyle g'(x)=1 \times \ln x+\frac{1}{x} \times x-1=\ln x+1-1=\ln x[/tex]
2) On a:
[tex]\displaystyle \int_{1}^{e} \ln x \; dx=[g(x)]_{1}^{e}=[x \ln x-x]_{1}^{e}=e\ln e-e-(1\ln 1-1)=e-e-0+1=1[/tex]
Comme:
[tex]\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \; dx=\int_{1}^{e} \ln x \; dx=1[/tex]
Alors f est une fonction à densité.
3)
[tex]\displaystyle p(1 < X < 2)=\int_{1}^{2} f(x) \; dx=\int_{1}^{2} \ln x \; dx=\left[x\ln x-x]_{1}^{2}=2\ln 2-2-(1 \ln 1-1)[/tex][tex]p(1 < X < 2)=2\ln 2-2-0+1=2\ln 2-1[/tex]
