bjr
méthode :
formule fondamentale sin²x + cos²x = 1 (1)
si l'on connaît sinx on le remplace par sa valeur dans (1) et on peut calculer cosx :
cos²x = 1 - sin²x
• ici sin (7π/12) = (√2 + √6)/4
sin² (7π/12) = [(√2 + √6)/4 ]² = (2 + 2√2√6 + 6)/16
= (2 + 2√2√2√3 + 6)/16
= (6 + 2 x 2 √3 + 6)/16
= (8 + 4√3)/16
cos² (7π/12) = 1 - sin² (7π/12)
= 1 - (8 + 4√3)/16
= (16 - 8 - 4√3)/16
= (8 - 4√3)/16
je remarque qu'en développant (√2 + √6)² on a trouvé 8 + 4√3
j'en déduis que 8 - 4√3 est le développement de (√2 - √6)²
(tu peux le contrôler en faisant les calculs)
d'où
cos² (7π/12) = (√2 - √6)²/16
cos (7π/12) = √(√2 - √6)²/4 ou cos (7π/12) = -√(√2 - √6)²/4
(en effet si x² = 3 cela signifie que x = √3 ou x = -√3)
√(√2 - √6)² = |√2 - √6| = √6 - √2
(la valeur absolue est un nombre positif)
on a donc
cos (7π/12) = (√6 - √2)/4 ou cos (7π/12) = - (√6 - √2) /4
le point qui représente 7π/12 sur le cercle trigonométrique est dans le 2e quadrant. Le cosinus de 7π/12 est négatif.
la réponse est cos (7π/12) = - (√6 - √2) /4
ou encore
cos (7π/12) = (√2 - √6) /4