Réponse : Bonsoir,
a) La suite [tex](u_{n})[/tex] est telle que [tex]u_{n}=f(n)[/tex], avec [tex]\displaystyle f(n)=\frac{n+1}{2n}[/tex].
On étudie donc les variations de f sur [tex]]0;+\infty[[/tex]. Cet intervalle suffit, puisque n est un entier naturel non nul, donc strictement positif.
On calcule la dérivée f':
[tex]\displaystyle f'(x)=\frac{1 \times 2x-2(x+1)}{(2x)^{2}}=\frac{2x-2x-2}{4x^{2}}=-\frac{2}{4x^{2}}[/tex]
Comme 4x² > 0, pour x ∈ ]0;+∞[, alors f'(x) < 0, sur cet intervalle.
On en déduit que la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]0;+∞[.
On en déduit que la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante, pour tout entier naturel n non nul.
