Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
f(x) = sin(x) + [tex]\frac{1}{2}[/tex] sin(2x)
a) f'(x) = cos(x) + [tex]\frac{1}{2}[/tex] × 2 × cos(2x) = cox(x) + cos(2x)
f'(x) = cos(x) + 2 cos²(x) - 1 = 2cos²(x) + cos(x) - 1
et (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1) = 2cos²(x) - cos(x) + 2cos(x) -1 = 2cos²(x) + cos(x) - 1
donc f'(x) = (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1)
b) f'(x) = 0 ⇔ (cos(x) + 1)(2cos(x) - 1) = 0
⇔ cos(x) + 1 = 0 ⇔ cos(x) = -1 ⇔ x = π ⇔ x = π + 2kπ
ou 2cos(x) - 1 = 0 2cos(x) = 1 cos(x) = [tex]\frac{1}{2}[/tex] x = [tex]\frac{\pi }{3}[/tex] + 2kπ
ou x =[tex]-\frac{\pi }{3}[/tex] + 2kπ
La fonction f(x) est impaire ,il y a donc une symétrie par rapport à l'origine du repère. Elle est périodique de période 2π ,on va donc étudier les variations sur l'intervalle [0 ; 2π],puisque les mêmes variations se répéteront ensuite sur [2π ; +∞[ et on aura une symétrie sur ]-∞ ; 0]
Sur [0 ; 2π] , f'(x) s'annule pour x = [tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; x = [tex]\pi[/tex] et x = [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]
f'(x) est donc négative sur [[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ] et positive sur [0 ; [tex]\frac{\pi }{3}[/tex]]∪[[tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex]]
f(x) est donc croissante sur [0 ; [tex]\frac{\pi }{3}[/tex]]∪[[tex]\frac{5\pi }{3}[/tex] ; 2[tex]\pi[/tex]] et décroissante sur [[tex]\frac{\pi }{3}[/tex] ; [tex]\frac{5\pi }{3}[/tex]]
