Réponse :
1) exprimer l'aire totale des 5 faces (sans couvercle) en fonction de l et h
A = 2 * l * h + 2 * 1.2 * h + 1.2 * l
= 2 l h + 2.4 h + 1.2 l
2) vérifier que l s'exprime en fonction de h par la relation l = 0.25/h
V = l * L * h = 0.3 ⇔ 1.2 * l * h = 0.3 ⇔ l * h = 0.3/1.2 = 0.25 ⇔ l = 0.25/h
3) déduire des questions précédentes l'expression de la surface totale en fonction de la hauteur h
A = 2* l* h + 2.4* h + 1.2* l ⇔ A = 2 * (0.25/h) * h + 2.4*h + 1.2*0.25/h
⇔ A = 0.50 + 2.4*h + 0.3/h
Partie B
soit la fonction f définie sur [0.2 ; 1] par f(x) = 2.4 x + 0.5 + (0.3/x)
1) déterminer f '(x) dérivée de f
f '(x) = 2.4 - (0.3/x²)
2) on admet que poser f '(x) = 0 se ramène à résoudre : 8 x² - 1 = 0
Résoudre cette équation dans l'intervalle [0.2 ; 1] (donner le résultat au centième)
8 x² - 1 = 0 ⇔ x² = 1/8 ⇔ x = - √(1/8) ∉ [0.2 ; 1] donc ne convient pas
ou x = √(1/8) = 1/2√2 = √2/4 ≈ 0.354
3) établir le tableau de variation de f
x 0.2 0.354 1
f(x) 2.48→→→→→→→→→→→→ 2.004 →→→→→→→→→→ 3.2
décroissante croissante
4) la fonction admet-elle un minimum ? si oui lequel
c'est oui , f admet un minimum = 2.004 atteint en x = 0.354
Partie C
déduire des résultats obtenus dans les questions précédentes la hauteur et la largeur de la caisse pour utiliser un minimum de matières premières
h = 0.354 m et l = 0.25/0.354 ≈ 0.706 m
Explications étape par étape