Réponse : Bonsoir,
D'après la formule d'intégration par parties:
[tex]\displaystyle \int \cos(x)\sin(x)=[\sin(x)\sin(x)]-\int \sin(x)\cos(x)\\2\int\cos(x)\sin(x)=\sin^{2}(x)\\\int \cos(x) \sin(x)=\frac{\sin^{2}(x)}{2}[/tex]
Donc l'ensemble des primitives de [tex]x \mapsto \cos(x)\sin(x)[/tex], sont les fonctions de la forme [tex]\displaystyle x \mapsto \frac{\sin^{2}(x)}{2}+C[/tex], avec [tex]C \in \mathbb{R}[/tex].
Vérification:
[tex]\displaystyle \left(\frac{\sin^{2}(x)}{2}\right)'=\frac{1}{2}(\sin(x)\sin(x))'=\frac{1}{2}(\cos(x)\sin(x)+\cos(x)\sin(x))=\cos(x)\sin(x)[/tex]
Donc [tex]\displaystyle x \mapsto \frac{\sin^{2}(x)}{2}+C[/tex], avec C une constante réelle, sont bien l'ensemble des primitives de [tex]x \mapsto \cos(x)\sin(x)[/tex]
