Réponse : Bonjour,
[tex]\displaystyle \int_{0}^{3} x^{2} \; dx[/tex] est l'aire située entre la courbe de h, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x=0 (l'axe des ordonnées), et la droite d'équation x=3.
i) Courbe de gauche.
La borne inférieure de l'encadrement correspond à la somme des aires des rectangles verts.
Le premier rectangle vert de dimension 1*1, donc ce rectangle a pour aire 1*1=1 unité.
Le deuxième rectangle vert de dimension 1*4, donc rectangle a pour aire 1*4=4 unités.
Donc la borne inférieure est de 5 unités.
La borne supérieure de l'encadrement, correspond à la somme des aires des trois rectangles verts et roses.
Le premier rectangle vert et rose, a pour dimensions 1*1, donc l'aire de ce rectangle vaut 1*1=1 unité.
Le deuxième rectangle vert et rose, a pour dimensions 1*4, donc l'aire de ce rectangle vaut 1*4=4 unités.
Le troisième rectangle vert et rose, a pour dimensions 1*9, donc l'aire de ce rectangle vaut 1*9=9 unités.
La borne supérieure de l'encadrement vaut donc 1+4+9=14 unités.
On obtient donc l'encadrement suivant:
[tex]\displaystyle 5 < \int_{0}^{3} x^{2} \; dx < 14[/tex]
ii) Courbe de droite.
La borne inférieure correspond à la somme des aires des cinq rectangles verts.
Le premier rectangle vert a pour dimensions 0,5*0,25, donc son aire vaut:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}=0,125[/tex]
Le deuxième rectangle vert, a pour dimensions 0,5*1, donc son aire vaut 1*0,5=0,5 unité.
Le troisième rectangle vert, a pour dimensions 0,5*2,25, donc son aire vaut:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{9}{4}=\frac{9}{8}=1,125[/tex]
Le quatrième rectangle vert, a pour dimensions 0,5*4, donc son aire vaut 0,5*4=2 unités.
Le cinquième rectangle vert, a pour dimensions 0,5*6,25, donc son aire vaut:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{25}{4}=\frac{25}{8}=3,125[/tex]
Donc la borne inférieure de l'encadrement est 0,125+0,5+1,125+2+3,125=6,875 unités.
La borne supérieure correspond à la somme des aires des rectangles verts et rouges.
Le premier rectangle rose a pour dimensions 0,5*0,25, donc aire vaut:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{8}=0,125[/tex]
Le deuxième rectangle vert et rose, a pour dimensions 0,5*1, donc son aire vaut 0,5 unité.
Le troisième rectangle vert et rose, a pour dimensions 0,5*2,25, donc son aire vaut:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{9}{4}=\frac{9}{8}=1,125[/tex]
Le quatrième rectangle vert et rose, a pour dimensions 0,5*4, donc son aire vaut 0,5*4=2 unités.
Le cinquième rectangle vert et rose, a pour dimensions 0,5*6,25, donc son aire vaut:
[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{25}{4}=\frac{25}{8}=3,125[/tex]
Le sixième et dernier rectangle vert et rose, a pour dimensions 0,5*9, donc son aire vaut 0,5*9=4,5 unités.
Donc la borne supérieure de l'encadrement vaut 0,125+0,5+1,125+2+3,125+4,5=11,375.
Donc l'encadrement recherché est:
[tex]\displaystyle 6,875 < \int_{0}^{3} x^{2} \; dx < 11,375[/tex]