Réponse : Bonjour,
1)
[tex]\displaystyle x^{2}-x+3+\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{(x^{2}-x+3)(x^{2}+1)+x}{x^{2}+1}=\frac{x^{4}+x^{2}-x^{3}-x+3x^{2}+3+x}{x^{2}+1}\\=\frac{x^{4}-x^{3}+4x^{2}+3}{x^{2}+1}=f(x)[/tex]
2) Une primitive de la fonction f sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est:
[tex]\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+3x+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)[/tex]
3) La primitive de f dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (0;-1), en appelant G cette primitive, est telle que G(0)=-1.
Donc:
[tex]\displaystyle \frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}+3 \times 0+\frac{1}{2}\ln(0^{2}+1)+C=-1\\ C=-1[/tex]
Donc la primitive recherchée est:
[tex]\displaystyle G(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+3x+\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)-1[/tex]
