Réponse :
bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
f(x)-g(x)
(x³+12)-(x²+8x)
x³+12-x²-8x
x³-x²-8x+12
b)
(x+3)(x-2)²
(x+3)(x²--4x+4)
x³+3x²-4x²-12x+4x+12
x³--x²-8x+12
c)
f(x)-g(x)=(x+3)(x-2)²
2)
a)
f(x)-g(x)> 0f(x)> g(x) C1 au dessus de C2
f(x)-g(x)=0 f(x)=g(x) C1 etC2 se coupent
f(x)-g(x)< 0 f(x)< g(x) C1 est sous C2
b)
f(x)-g(x)=(x+3)(x-2)²
(x-2)² ≥ 0
x=2 (x-2)²=0
x=-3 x+3=0 x< -3 (x+3)< 0 x>-3 x+3 >0
étudions le signe de
(x+3)(x-2)²
x -∞ -3 2 +∞
(x-2)² + + 0 +
x+3 - 0 + +
(x+3)(x-2)² - 0 + 0 +
f(x)-g(x) - 0 + 0 +
d'où
x<-3 f(x)-g(x)<0 f(x)<g(x) c1 est sous c2
x=-3 f(x)-g(x)=0 f(x) =g(x) c1 et c2 se coupent
2>x> -3 f(x)-g(x) >0 f(x)>g(x) c1 est au dessus de c2
x=2 f(x)-g(x)=0 f(x)=g(x) c1 et c2 se coupent
x> 2 f(x)-g(x)> 0 f(x)> g(x) c1 est au dessus de c2
2)
MN maximum
f(x)-g(x)=x³-x²-8x+12
en étudiant la dérivée nous obteindrons les variation s de
f(x)-g(x)
dérivée
3x²-2x-8
Δ=2²-4(3)(-8)
Δ=4+96
Δ=100
√Δ=10
x1= 2+10/6 x1=12/6 x1=2
x2= 2-10/6 x2=-8/6 x2=-2/3
3x²-2x-8 est du signe de 3 sauf entre les racines
si la dérivée est < 0 la fonction est décroissante
si la dérivée =0 la fonction change de sens
si la dérivée est positive la fonction estv croissante
x -3 -2/3 2
3x²-2x-8 + 0 - 0
x³-x²-8x+12 croissante décroissante
donc dans l'intervalle [-3;2]
la fonction est croissante jusque -2/3
le maximum de f(x)-g(x) est atteint pour x=-2/3
f(-2/3)=11.70
g(-2/3)=-4.8
f(-2/3)-g(-2/3)=16.6 arrondi
la longueur maximale de MN sera 16.6
