Réponse :
Trouvons si la suite Uₙ est croissance ou décroissante:
Explications étape par étape
Trouvons le sens de variation de la fonction:
Uₙ = n²/3ⁿ
Uₙ₊₁ = (n+1)²/3ⁿ⁺¹
La forme de notre suite nous oblige à utiliser une autre methode pour trouver son sens de variation
Nous utiliserons la methode Uₙ₊₁/Uₙ
Uₙ₊₁/Uₙ = [ (n+1)²/3ⁿ⁺¹ ] / [n²/3ⁿ]
Rappel theorique : Diviser 2 nombres fractionnaires revient a multiplier le premier par le second renverse
Uₙ₊₁/Uₙ = [ (n+1)²/3ⁿ⁺¹ ] / [n²/3ⁿ]
= [ (n+1)²/3ⁿ⁺¹ ] * [3ⁿ/n²]
= [(n+1)²/n²] * 3ⁿ/3ⁿ⁺¹
Uₙ₊₁/Uₙ = [(n+1)/n]² / 3
En passant à la limite :
Lim (Uₙ₊₁/Uₙ ) = 1/3 , avec N - (0, 1)
n⇒∞
Puisque Uₙ₊₁/Uₙ = 1/3 < 1 , alors la suite Un est décroissante.
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https://nosdevoirs.fr/devoir/1231849
