Réponse : Bonjour,
1) Je vous laisse tracer le graphique.
2) Le coefficient directeur de la tangente à [tex]\mathcal{H}[/tex] au point A d'abscisse [tex]a \in \mathbb{R}-\{2\}[/tex] est f'(a).
On calcule donc la dérivée de f:
[tex]\displaystyle f'(x)=\frac{-2(x-2)-(-2x)}{(x-2)^{2}}=\frac{-2x+4+2x}{(x-2)^{2}}=\frac{4}{(x-2)^{2}}[/tex]
On a donc:
[tex]\displaystyle f'(a)=\frac{4}{(a-2)^{2}}[/tex]
3) Il faut résoudre l'équation f'(a)=1:
[tex]\displaystyle \frac{4}{(a-2)^{2}}=1\\(a-2)^{2} \times 1=4\\(a-2)^{2}=4\\a-2=-2 \quad ou \quad a-2=2\\a=0 \quad ou \quad a=4[/tex]
Aux points d'abscisse a=0, et a=4, la tangente à h est parallèle à la droite d'équation y=x.
Déterminons leurs équations:
i) Equation de la tangente à h au point d'abscisse a=0:
[tex]\displaystyle y=h'(0)(x-0)+h(0)\\h'(0)=\frac{4}{(0-2)^{2}}=\frac{4}{4}=1\\h(0)=\frac{-2 \times 0}{0-2}=0\\Donc \; y=x[/tex]
Donc la tangente à h au point d'abscisse 0, a pour équation y=x.
ii) Equation de la tangente à h au point d'abscisse a=4:
[tex]\displaystyle y=h'(4)(x-4)+h(4)\\h'(4)=\frac{4}{(4-2)^{2}}=\frac{4}{4}=1\\h(4)=\frac{-2 \times 4}{4-2}=\frac{-8}{2}=-4\\Donc \; y=x-4-4 \Leftrightarrow y=x-8[/tex]
Donc la tangente à h au point d'abscisse 4, a pour équation y=x-8.
4) La tangente à [tex]\mathcal{H}[/tex], au point d'abscisse a, est parallèle à ([tex]D_{m}[/tex]), d'équation y=mx, si et seulement si f'(a)=m.
Il faut donc discuter en fonction de m, le nombre de solutions de cette équation:
[tex]\displaystyle \frac{4}{(a-2)^{2}}=m\\m \times (a-2)^{2}=4\\m(a^{2}-4a+4)=4\\ma^{2}-4ma+4m-4=0[/tex]
On calcule le discriminant de ce trinôme du second degré en a:
[tex]\Delta=(-4m)^{2}-4 \times m \times (4m-4)\\\Delta=16m^{2}-4m(4m-4)=16m^{2}-16m^{2}+16m=16m[/tex]
On en déduit que:
[tex]\Delta > 0 \Leftrightarrow 16m > 0 \Leftrightarrow m > 0[/tex]
Donc si m > 0, l'équation f'(a)=m, a deux solutions, donc dans ce cas, il existe deux points, pour lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y=mx.
Si m=0, alors [tex]\Delta=0[/tex], donc dans ce cas, il existe un unique point, pour lequel, la tangente est parallèle à la droite d'équation y=mx.
Enfin, si m < 0, alors [tex]\Delta < 0[/tex], donc dans ce cas, il n'existe pas de points, pour lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y=mx.
