Réponse :
f(x)=e^2x -2e^x -3 sur R
Explications étape par étape
1a)limite en -oo
si x tend vers -oo, e^2x tend vers 0 et -2e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers -3
la droite y=-3 est une asymptote horizontale
1b ) limite en +oo
f(x)=e^2x(1-2e^x/e^2x-3/e^2x)
si x tend vers+oo, -2e^x/e^2x=2-/e^x cette expression tend vers0 tout comme 3/e^2x donc f(x) tend vers +oo
2a) Dérivée f'(x)=2e^2x-2e^x=(2e^x) (e^x -1)
f'(x) =0 si e^x-1=0 soit pour x=0
2b)Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 0 +oo
f'(x)...............-.............................0..................+.......................
f(x) -3........décroi...................-4..................croi.................+oo
f(0)=1-2-3=-4
3) On regardant le tableau ci dessus on note que f(x)=0 admet une et une seule solution comprise entre 0 et +oo (TVI)
Résolution par le calcul
Posons e^x=X et résolvons X²-2X-3=0 ceci car e^2x=(e^x)²
delta=16
solutions: X1=(2-4)2=-2 et X2=(2+4)/2=3
e^x=-2 impossible
e^x=3 soit x=ln3
l'unique solution de f(x)=0 est donc x=ln3
