Réponse :
Bonjour/ bonsoir, une translation est une application du plan qui fait en quelque sorte glisser un point M vers un point M'en fonction d'un vecteur [tex]\vec u[/tex], on note le plus souvent : [tex]M' = t_{\vec u}(M)\ et\ \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{u}[/tex]. Parmi les propriétés des translations, on peut noter:
- La conservation des distance
- La conservation du parallélisme
- La conservation de la nature d'une figure (l'image d'un carré est un carré)
Explications étape par étape
1. Faire une figure (bien vouloir voir image jointe)
2. Montrons que [tex]\overrightarrow{CT} = \overrightarrow{DB}[/tex]
On sait que T est l'image de B par la translation de vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex], ainsi il suffit de montrer que C est l'image de D par cette même translation.
ABCD étant un parallélogramme, on a: [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex] d'où C est bien l'image de D.
3. Montrons que DRCB est un parallélogramme
Il suffit de montrer ici que deux côtés sont parallèles et égaux. Considérons les vecteurs [tex]\overrightarrow{DR}\ et\ \overrightarrow{BC}[/tex]. Comme R est l'image de D par la translation [tex]\overrightarrow{AD}[/tex] alors, [tex]\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DR}\\Or\ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}[/tex]
D'où DRCB est un parallélogramme.
4. Montrons que C est le milieu de [RT]
D'après la question 3) et 2), DRCB est un parallélogramme, ce qui implique que DB = RC, et DB =CT donc RC = CT. On conclut alors que C est le milieu de [RT].
5. On déduit de la question précédente que ATSR est un parallélogramme car les segments [AS] et [RT] se coupent en leur milieu (propriété des parallélogrammes).
Aller plus loin sur les parallélogrammes.. https://nosdevoirs.fr/devoir/755772
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