Réponse :
bonjour, n hesites pas si tu as des questions
Explications étape par étape
Question 1 ----------------------
on va se laisser guider par la suggestion, A peut s ecrire
A = 1561113 x 10^6 + 55376 et 55376 < 10^6
et la on se dit qu est-ce qu on va bien pouvoir en faire?
deja raisonons modulo 97, 10^6 ca fait combien ?
10^2 = 3 [97] car 100 = 1 * 97 + 3
10^6 = (10^2)^3 = 3^3 = 27 [97]
ensuite avec la calculatrice on peut faire les deux divisions euclidiennes suivantes
1561113 = 16093 * 97 + 92
et
55376 = 570 * 97 + 86
donc
1561113 = 92 [97]
55376 = 86 [97]
ha mais on se souvient que A = 1561113 x 10^6 + 55376 donc
A = 92 * 27 + 86 [97]
et 92 * 27 + 86 = 2570 = 26 * 97 + 48
De ce fait A = 48 [97]
on a presque finit :-)
A + cle = 0 [97]
donc cle = 97 - 48 = 49
la cle associee a A est donc 49
Question 2 ----------------------
faut faire quelques divisions euclidiennes comme en 1
A=1680391*10^6+174212
1680391 = 17323 * 97 + 60
174212 = 1796 * 97 + 0
A = 60 * 27 [97]
A = 68 [97] car 60*27 = 1620 = 16 * 97 + 68
donc la cle est 29
c est pas egal a 33 donc ce numero INSEE n est pas correct
Question 3 ----------------------
A=1680391*10^6+174112
174112 = 1794 * 97 + 94
A = 60 * 27 + 3 [97]
60*27+94 = 1623 = 16 * 97 + 65
A = 65 [97]
donc la cle est 32
c est pas egal a 33 donc ce numero INSEE n est pas correct
Question 4 ----------------------
si un des chiffres est errone, c est soit un chiffre de la cle soit un autre chiffre
si c est un chiffre de la cle l erreur est detectee trivialement
donc regardons maintenant ce qu il se passe si c'est un autre chiffre
reprenons les memes notations le numero s ecrit A + clef = 0 [97] A etant le nombre correct
il s ecrit a1 10^12 + a2 10^11 + ... + a13
soit A0 le nombre errone A0 est different de A il y a un seul chiffre de different
il existe i tel que 0<= i <=13 et tel que ai(A0) soit different de ai(A) et tous les autres egaux ce que l on peut ecrire ainsi
il existe i et n deux entiers tels que 0<= i <=13 et 0<=n<=9
A0 = A + (ou -) n10^i
mais alors est ce que le reste de A0 par la division euclidienne de 97 sera different du reste de A par la division euclidienne de 97?
supposons que non, donc supposons que A0 = A [97] ce qui revient a dire que n10^i = 0 [97]
ca veut dire que 97 divise n10^i
mais 97 et n sont premiers entre eux donc 97 divise 10^i mais 97 et 10 sont premiers entre eux donc c est pas possible
donc la difference entre A0 et A est detectee modulo 97
autrement dit si A0 differe de A son reste par la division euclidienne de 97 sera different aussi
donc l erreur sera detectee
