Réponse
Bonjour
Explications étape par étape
Partie B :
1)
f(x) est de la forme : u*v+5 avec:
u=4x-10 ,donc u '=4
v=exp(-0.5x) donc v '=-0.5*exp(-0.5x)
f '(x)=4*exp(-0.5x)+(4x-10)(-0.5*exp(-0.5x)
f '(x)=exp(-0.5x)[4-0.5(4x-10)]
f '(x)=exp(-0.5x)(4-2x+5)
f '(x)=(9-2x)*exp(-0.5x)
2)
f '(x) est donc du signe de (9-2x) .
9-2x > 0 ==>x < 9/2
Tableau de variation :
x-------->0.......................................9/2......................................10
f '(x)---->.......................+..................0............-..........................
f(x)------>-5..................C...............≈5.8..............D.....................5.2
C=flèche qui monte
D=flèche qui descend
3)
Sur [0;9/2] , f(x) est continue et strictement croissante passant d'une valeur négative pour x=0 à une valeur positive ≈5.8 pour x=9/2. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) , il existe un unique réel α sur cet intervalle tel que f(α)=2.
Sur [9/2;10] , f(x) est continue et strictement décroissante pasant de la valeur ≈ 5.8 pour x=9/2 à la valeur ≈ 5.2 pour x=10. Donc d'après le TVI , il n'existe pas de réel β tel que f(β)=2.
4)
f(1)≈ 1.3608 <2
f(2) ≈ 4.2642 > 2
f(1.1) ≈ 1.7691 < 2
f(1.2) ≈ 2.1462 > 2
f (1.16) ≈ 1.9989 < 2
f(1.17) ≈ 2.0362 > 2
Donc :
α ≈ 1.16 à 0.01 près.
5)
Bénéfice max pour 9/2=4.5 milliers d'objets fabriqués et vendus soit 4500 objets fabriqués et vendus.
f(4.5) ≈ 5.843193797 en centaines de milliers d'euros.
Ce bénéfice max est donc de 584 319 euros , à l'euro près.
Bénéfice > 200 000 euros ? Donc bénéfice > 2 centaines de milliers d'euros ?
D'après la question 4 ) et le tableau de variation de f(x) , il faut fabriquer au moins 1.16 milliers d'objets soit au moins 1160 objets.
Partie C :
1)
f "(x) est donc du signe de : x-6.5
x -6.5 > 0 ===> x > 6.5
Sur [0;6.5] , f "(x) est négative donc f(x) est concave.
Sur [6.5;10] , f "(x) est positive donc f(x) est convexe.
2)
f "(x) s'annule et change de signe pour x=6.5.
Donc cf admet un point d'inflexion"I" ( voir graph) d'abscisse x=6.5 et d'ordonnée :
y ≈ 5.6204.
Je ne pense pas que l'annexe ait un rapportavec cet exo ?
