Bonjour ;
On a : f(x) = 1/2 * (x² - 2x + 5)/(x + 1/2)
= (x² - 2x + 5)/(2x + 1) .
Calculons : f ' (x) .
f ' (x) = ((x² - 2x + 5)'(2x + 1) - (x² - 2x + 5)(2x + 1)')/(2x + 1)²
= ((2x - 2)(2x + 1) - (x² - 2x + 5) * 2)/(2x + 1)²
= (4x² + 2x - 4x - 2 - 2x² + 4x - 10)/(2x + 1)²
= (2x² + 2x - 12)/(2x + 1)²
= 2(x² + x - 6)/(2x + 1)² .
f atteint un minimum pour un x qui annule sa dérivée sur [0 ; 12] .
On a : f'(x) = 0 si x² + x - 6 = 0 .
Résolvons l'équation : x² + x - 6 = 0 .
On a : x² + x - 6 = 0 ;
donc : Δ = 1² - 4 * 1 * (- 6) = 1 + 24 = 25 = 5² ;
donc : x1 = (- 1 + 5)/2 = 2 et x2 = (- 1 - 5)/2 = - 3 valeur de x à rejeter
car elle n'appartient pas à [0 ; 12] ; donc f atteint son minimum
sur [0 ; 12]
pour x = 2 ; donc durant sa plongée , Sandrine est passée à 2 m du
fond de la piscine .
