Réponse : Exercice 44
1)
[tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=x(x+2)-4x=x^{2}+2x-4x=x^{2}-2x[/tex]
2) Le triangle OAB est rectangle en O, si et seulement si les vecteurs [tex]\overrightarrow{OA}[/tex] et [tex]\overrightarrow{OB}[/tex] sont orthogonaux, donc si et seulement si [tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0[/tex].
Donc si:
[tex]x^{2}-2x=0\\x(x-2)=0\\x=0 \quad ou \quad x-2=0\\x=0 \quad ou \quad x=2[/tex]
3)a) Pour étudier les variations de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex], on calcule sa fonction dérivée f':
[tex]f'(x)=2x-2=2(x-1)[/tex]
f'(x) est du signe de x-1, on a donc:
x -∞ 1 +∞
f'(x) - Ф +
f(x) (décroissante) (croissante)
b) Au vu du tableau de variations précédent, on en déduit que f a un minimum en x=1, et ce minimum vaut f(1).
c) Le produit [tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}[/tex] minimal vaut f(1), il vaut donc:
[tex]f(1)=1^{2}-2 \times 1=1-2=-1[/tex]
D'après une formule du produit scalaire:
[tex]\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=||\overrightarrow{OA}||.||\overrightarrow{OB}|| \times \cos(\widehat{AOB})\\||\overrightarrow{OA}||=\sqrt{(x-0)^{2}+(-4-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+16}=\sqrt{1^{2}+16}=\sqrt{17}\\||\overrightarrow{OB}||=\sqrt{(x+2-0)^{2}+(x-0)^{2}}=\sqrt{x^{2}+4x+4+x^{2}}=\sqrt{2x^{2}+4x+4}=\sqrt{2 \times 1^{2}+4 \times 1+4}=\sqrt{2+4+4}=\sqrt{10}\\Donc \; -1=\sqrt{17} \times \sqrt{10} \times \cos(\widehat{AOB})\\\cos(\widehat{AOB})=-\frac{1}{\sqrt{170}}\\[/tex]
[tex]\widehat{AOB}=\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{170}}) \approx 1,6 \; rad[/tex]