Réponse :
Explications étape par étape
Partie 1
1) On voit que 7*1-6*1=1 donc une solution particulière est x=1 et y=1
2) L'astuce est de faire un système avec la solution particulière
[tex]\left \{ {{7x-6y=1} \atop {7*1-6*1=1}} \right.[/tex]
On soustrait membre à membre
[tex]7x-6y-7+6=0 <=> 7x-7 -6x+6=0 <=> 7(x-1)-6(y-1)=0 <=> 7(x-1 )=6(y-1)[/tex]
Comme 6 et 7 sont premier en eux donc x-1≡0(6) soit x≡1 (6)
Donc x= 6k+1 avec k∈Z et en remplaçant dans la dernière relation on a y=7k+1
Donc S={(6k+1;7k+1), k∈Z}
Partie B
1) on remarque que
[tex]7^{n} =7*7^{n-1} \\3*2^{m} =3*2*2^{m-1}=6*2^{m-1}[/tex]
Donc si [tex]x=7^{n-1} \ \ et \ \ \ y=2^{m-1}[/tex] on retrouve l'équation de la partie 1
Il faut simplement que x et y soit entier donc n≥1 et m≥1
On suppose m≤4
1e cas m=0
L'équation F devient [tex]7^{n} -3*2^{0} =1 <=> 7^{n}=4[/tex] impossible. Il n'y a pas de solutions
2e cas m≠0
On a donc [tex]2^{m-1}[/tex]≡ 1 (7) d"après partie A
[tex]2^{0}[/tex]≡1(7) , [tex]2^{1}[/tex]≡2(7), [tex]2^{2}[/tex]≡4(7) et [tex]2^{3}[/tex]≡1(7)
Donc seul m-1=0 et m-1=3 conviennent.
Si m=1 on a [tex]7^{n} -6 =1 <=>7^{n}=7 <=> n=1[/tex]
Si m=4 on a [tex]7^{n} -48 =1 <=>7^{n}=49 <=> n=2[/tex]
Il y a donc exactement 2 couples solution
2) on suppose que m≥5
Donc [tex]2^{m} \ est \ divisible\ par \ 2^{5} =32[/tex]
Si n et m vérifie F alors
[tex]7^{n} -3*2^{m}[/tex] ≡ 1 (32) mais [tex]2^{m}[/tex] ≡ 0 (32) donc
[tex]7^{n}[/tex] ≡ 1 (32)
b)
[tex]7^{0}[/tex] ≡ 1 (32) , [tex]7^{1}[/tex] ≡ 7 (32) , [tex]7^{2}[/tex] ≡ 31 (32), [tex]7^{3}[/tex] ≡ 23 (32), [tex]7^{4}[/tex] ≡ 1 (32)
Donc
[tex]n=4k : 7^{n} =7^{4k} =(7^{4})^{k}[/tex] ≡ 1 (32)
[tex]n=4k+1 : 7^{n} =7^{4k+1} =7^{4k}* 7^1{}=(7^{4})^{k}* 7^1{}[/tex] ≡ 7 (32)
[tex]n=4k+2 : 7^{n} =7^{4k+2} =7^{4k}* 7^{2}=(7^{4})^{k}* 7^{2}[/tex] ≡ 31 (32)
[tex]n=4k+3 : 7^{n} =7^{4k+3} =7^{4k}* 7^{3}=(7^{4})^{k}* 7^{3}[/tex] ≡ 23 (32)
Donc n est nécessairement multiple de 4 pour vérifier F
c)
Puisque n est multiple de 4 on a
[tex]n=4k : 7^{n} =7^{4k} =(7^{4})^{k}[/tex]
[tex]7^{4} = 2401[/tex] ≡ 1(5)
Donc [tex]7^{n}[/tex] ≡ 1(5)
d)
On remarque que -3≡2(5)
On doit avoir pour F
[tex]7^{n} -3*2^{m}[/tex] ≡ 1 (5)
[tex]1 +2*2^{m}[/tex] ≡ 1 (5)
[tex]2^{m+1}[/tex] ≡ 0 (5)
Or 2 est premier avec 5. Donc il n' a pas de solutions possibles
3.
En conclusion il n'y a que 2 solutions (1;1) et (2;4)
