Réponse :
Explications étape par étape
1)
ABCD est un carré et DCE est un triangle équilateral. Soit H le milieu de [DC]
[HE] est une médiane mais aussi une hauteur de DCE. Donc l'abscisse de E est [tex]x_{E} =AB/2 =1/2[/tex]
Soit E' la projection orthogonale de E sur (AD). Le triangle EDE' est rectangle en E'. Or dans un triangle équilatéral tous les angles font 60° do,c EDC = 60° et E'DE=ADE=90-60=30°
Dans le triangle AE'E rectangle en E' on a
[tex]tan(E'DE)=\frac{EE'}{E'D} =\frac{\frac{AB}{2} }{E'D} =\frac{AB}{2E'D}[/tex]
donc [tex]E'D = \frac{AB}{2 tan(E'DE)} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3} } } =\sqrt{3} /2[/tex]
Comme E' ∈ [AD] = AE'=AD-E'D = [tex]1-\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
Donc [tex]E(1/2;1-\frac{\sqrt{3} }{2} )[/tex]
pour F on montre de même que [tex]y_{H} =\frac{BC}{2} =\frac{1}{2}[/tex]
Soit F' le projeté orthogonal sur (AB). Le triangle BFF' est rectangle en F' et l'angle FBF' fait encore 30° (même raisonnement que précédemment)
on a [tex]tan(30°)=\frac{FF'}{BF'}[/tex]
donc [tex]BF' = \frac{FF'}{tan(30°)}= \frac{\frac{BC}{2} }{\frac{1}{\sqrt{3} } } = \frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
Comme B ∈[AF"] AF' = AB +BF' = [tex]1+\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
Donc [tex]F(1+\frac{\sqrt{3} }{2} ;\frac{1}{2} )[/tex]
2.
On a Vecteur(AE) et Vecteur(AF) qui ont les mêmes coordonnées que les points E et F
En faisant les produits en croix
on a det(AE,AF)= [tex]\frac{1}{2} *\frac{1}{2} - (1-\frac{\sqrt{3} }{2} )(1+\frac{\sqrt{3} }{2} )=\frac{1}{4} -(1^{2} -(\frac{\sqrt{3} }{2}) ^{2} )=\frac{1}{4} -1 +\frac{3}{4} =0[/tex]
Les vecteurs sont colinéaires donc les points A,E,F sont alignés
