Bonjour,
1) La fonction est définie sur R car x²+2 ne s'annule jamais (c'est toujours >0).
2) On utilise la formule (u/v)'=(u'v-uv')/v² :
f'(x) = [ 8(x²+2) - (8x+4)(2x) ]/(x²+2)²
= [8x²+16-16x²-8x]/(x²+2)²
= [-8x²-8x+16]/(x²+2)²
= 8(-x²-x+2)/(x²+2)²
3) f'(x)=0 <=> -x²-x+2=0 <=> x²+x-2=0
Or, x²+x-2=(x-1)(x+2) (si tu ne le vois pas comme ça, tu peux le calculer avec le déterminant)
donc x²+x-2=0 pour x=1 et x=-2
Donc f'(x)=0 pour x=1 et x=-2.
En outre,
f'(0) = 16/4 = 4 > 0, donc on a le tableau de variation ci-joint.
4) x²+2 tend plus vite vers +inf que 8x+4, donc f(x) tend vers 0 quand x tend vers +inf.
5) f'(0) = 4 et f(0)=2, donc la tangente à Cf au point d'abscisse 0 vaut y=f'(0)x+f(0)=4x+2.
6) La fonction f tend vers 0 quand f tend vers -inf pour les mêmes raisons que en question 4, donc d'après le tableau de variation : -2≤f(x)≤4.
7) Je te laisse le faire à l'aide du tableau de variation, je ne peux pas le faire pour toi !
N'hésite pas si tu as des questions !
