Réponse :
Explications étape par étape
c est un exercice interessant - je le trouve beaucoup plus subtile que la plupart des exercices sur la resolution des equations du second degre
il faut savoir que dans une equation du second degre si on note x1 et x2 comme dans l enonce les deux racines alors on peut factoriser l equation en
(x - x1) x (x - x2) ce qui donne en developant x^2 - (x1 + x2) x + x1 x x2
donc sans connaitre explicitement les racines on peut voir de l equation leur somme et leur produit
dans cet exemple on -2x^2 + x racine ( 2) + 2 = 0
ce qui donne -2 x ( x^2 - x racine(2) / 2 - 1 ) = 0 ce qui est equivalent a
x^2 - x racine(2) / 2 - 1 = 0
donc on peut en deduire que x1 + x2 = racine(2) / 2 et x1 x2 = -1
revenons maintenant a l exercice
a) on sait qu il y a deux solutions distinctes reelles si le discriminant est strictement positif or le discriminant = 2 - (4 x (-2) x 2) = 18 > 0 donc c est tout bon
b) on remarque que 0 n est pas une solution triviale de E2 donc on peut diviser par x1 et par x2 sans prendre trop de risque on sait que ca existe
et 1/x1+1/x2 = ( x1 + x2) / x1 x2 et on retrouve la somme et le produit que l on connait deja
donc 1/x1 + 1/x2 = (racine(2) / 2 ) / ( -1) = - racine(2) / 2
pour x1^3 + x2^3 on peut dire que c est egal a (x1 + x2)^3 - 3x1^2x2 - 3x1x2^2
car on sait que (x1+x2)^3 = x1^3 + 3x1^2x2 + 3x1x2^2 + x2^3
ainsi on se retrouve avec
x1^3 + x2^3 = ( x1 + x2 ) ^3 - 3 x1 x2 (x1 + x2)
a nouveau c est fonction de la somme et du produit et on les connait !
x1^3 + x2^3 = ( racine(2) / 2 )^3 + 3 (racine(2)/2) = ( 2 racine(2) / 8 ) + 3 (racine(2)/2)
= ( racine(2) + 6 racine(2) ) / 4
finalement
x1^3 + x2^3 = 7 racine(2) / 4
