Bonsoir !
On note S le nombre de soldats.
- Si les soldats sont rangés par trois colonnes, il reste deux soldats : S-2 est divisible par 3 (car si on enlève deux soldats, on peut faire 3 colonnes égales), donc il existe un nombre n tel que S-2 = 3*n (n représente le nombre de soldats par colonne).
- s'ils sont rangés par cinq colonnes, il reste trois soldats : S-3 = 5*k (k est un autre nombre entier comme le n)
- s'ils sont rangés par sept colonnes, il reste deux soldats : S-2 = 7*m (m un nombre entier)
S-2 est divisible à la fois par 3 et par 7, donc comme pgcd(3,7)=1, S-2 est divisible par 3*7=21.
Donc il existe un nombre p tel que S-2=21p, donc 5k = S-3 = 21p-1,
donc 5k = 21p - 1.
On veut trouver des couples d'entier (k,p) qui vérifient cela, avec S>100 donc 5k+3>100 donc k>20 et S<500 donc 5k+3<500 donc k<100.
Or, 21p-1=20p+p-1 donc 21p-1 est divisible par 5, si et seulement si p-1 est divisible par 5 (car 20p l'est).
Les solutions sont donc atteintes pour tous les p tels que p-1 est divisible par 5 et tels que 20<k<100.
- p=1 => k=4<20
- p=6 => k=25 => S=128
- p=11 => k=46 => S=233
- p=16 => k=67 => S=338
- p=21 => k=88 => S=443
- p=26 => k=109>100
L'armée peut donc comporter 128, 233, 338 ou 443 soldats.
N'hésite pas si tu as des questions !
