Bonjour à tous je suis en terminale ES et je n'arrive pas à faire cet exercice et un peu d'aide me serait utile. Voici l'exercice en question :
On donnera les valeurs exactes des probabilités, puis leurs valeurs approchées
arrondies à 0,001 près.
La durée de vie X (en années) d'un composant électronique fabriqué dans l'usine
SansGong suit une loi de densité f définie par f(x) = -2/9x^2+2/3x sur [ 0 ; 3 ].
On achète un composant.
1. Quelle est la probabilité p1 qu'il soit hors d'usage avant un an ?
2. Quelle est la probabilité p2 qu'il casse pendant la deuxième année ?
3. Quelle est la probabilité p3 qu'il soit hors d'usage après deux ans et demi ?
4. Quelle est l'espérance m de X? Interprétez concrètement la valeur de m.

[tex]P(X < 1)=\int_{0}^{1} -\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}+\frac{2}{3}[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}=-\frac{2}{9} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}=-\frac{2}{27}+\frac{1}{3}\\=\frac{-2+9}{27}=\frac{7}{27} \approx 0,259[/tex]

2)

[tex]P(1 < X < 2)=\int_{1}^{2} -\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}+\frac{2}{3}[\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}=-\frac{2}{9}(\frac{8}{3}-\frac{1}{3})+\frac{2}{3}(\frac{4}{2}-\frac{1}{2})\\=-\frac{2}{9} \times \frac{7}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=-\frac{14}{27}+1=\frac{-14+27}{27}=\frac{13}{27} \approx 0,481[/tex]

3)

[tex]P(X > 2,5)=1-P(X \leq 2,5)\\P(X \leq 2,5)=\int_{0}^{2,5} -\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2,5}+\frac{2}{3}[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2,5}=-\frac{2}{9} \times \frac{2,5^{3}}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{2,5^{2}}{2}\\=-\frac{2}{9} \times \frac{15,625}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{6,25}{2}=\frac{-2 \times 2 \times 2,5^{3}+2 \times 9 \times 2,5^{2}}{54}=\frac{2,5^{2}(-2 \times 2 \times 2,5+2 \times 9)}{54}=\frac{2,5^{2} \times 8}{54}\\=\frac{50}{54}[/tex]

[tex]P(X \leq 2,5)=\frac{50}{54}=\frac{25}{27}[/tex]

Donc:

[tex]P(X > 2,5)=1-P(X \leq 2,5)=1-\frac{25}{27}=\frac{27-25}{27}=\frac{2}{27} \approx 0,074[/tex]

4)

[tex]m=\int_{0}^{3} x f(x) \: dx=\int_{0}^{3} x(-\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x) \; dx=\int_{0}^{3} -\frac{2}{9}x^{3}+\frac{2}{3}x^{2} \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}+\frac{2}{3}[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}\\=-\frac{2}{9} \times \frac{3^{4}}{4}+\frac{2}{3} \times \frac{3^{3}}{3}=-\frac{3^{2}}{2}+\frac{2 \times 3^{2}}{3}=-\frac{9}{2}+2 \times 3=-\frac{9}{2}+6=\frac{-9+12}{2}=\frac{3}{2}=1,5[/tex]

La durée de vie moyenne d'un composant électronique est donc de 1 an et demi.