bonjour
f (x) = 3 / ( x + 1 )
1 ) antécédent de 4 = bien - 1/4
2 ) f (x) ≥ 2
3 / ( x + 1 ) ≥ 2
3 / ( x + 1 ) - 2 ( x + 1) / ( x + 1) ≥ 0
( 3 - 2 x - 2 ) / ( x + 1 ) ≥ 0
( - 2 x + 1 ) / ( x + 1 ) ≥ 0 avec x ≠ - 1
- 2 x + 1 = 0 ⇔ - 2 x = - 1 ⇔ x = 1/2
x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 valeur interdite
x - ∞ - 1 1/2 + ∞
- 2 x + 1 + + 0 -
x + 1 - 0 + +
quotient - 0 + 0 -
] - 1 ; 1/2 ]
3 ) g ( 0)= 3 et g ( - 1 ) = 4
( 4 - 3 ) / ( - 1 - 0 ) = - 1/1 = - 1 donc a = - x
g ( -1) = 4
1 + b = 4 ⇔ b = 3
g (x) = - x + 3
d'où g ( 0) = 3
le reste est du graphique
Réponse :
1) déterminer l'antécédent du nombre 4 par f
f(x) = 3/(x+1) = 4 ⇔ 3/(x+ 1) - 4(x + 1)/(x + 1) = 0 ⇔ (3 - 4 x - 4)/(x+1) = 0
⇔ (- 4 x - 1)/(x+1) = 0 or x + 1 ≠ 0 donc - 4 x - 1 = 0 ⇔ x = - 1/4
2) résoudre avec un tableau de signe, pour x ∈]- 1 ; + ∞[
l'inéquation f(x) ≥ 2
f(x) ≥ 2 ⇔ 3/(x+1) ≥ 2 ⇔ 3/(x+1) - 2 ≥ 0 ⇔ 3/(x+1) - 2(x+1)/(x+1) ≥ 0
⇔ (3 - 2 x - 2)/(x+1) ≥ 0 ⇔ (1 - 2 x)/(x+1) ≥ 0
x - 1 1/2 + ∞
1 - 2 x + 0 -
x + 1 || + +
Q || + 0 -
l'ensemble des solutions est: S = ]- 1 ; 1/2]
3) soit y la fonction affine définie par g(0) = 3 et g(- 1) = 4
Déterminer l'expression de la fonction affine en fonction de x
la fonction affine g s'écrit g(x) = a x + b
a : coefficient directeur = (f(0) - f(- 1))/ (0 + 1) = (3 - 4)/1 = - 1
b : l'ordonnée à l'origine donc g(0) = 3 = b
donc l'expression de g(x) = - x + 3
4) je te laisse tracer toi même la courbe Cf et la droite
5) démontrer que pour tout x de l'intervalle ]- 1 ; + ∞[
f(x) - g(x) = (x² - 2 x)/(x+1)
f(x) - g(x) = 3/(x+1) - (- x + 3) = 3/(x+1)) - (-x + 3)(x + 1)/(x+ 1)
= (3 - (- x² - x + 3 x + 3))/(x+1)
= (3 - (-x² + 2 x + 3))/(x+1)
= (3 + x² - 2 x - 3)/(x+1)
= (x² - 2 x)/(x+1)
6) dresser alors le tableau de signe de f(x) - g(x)
x - 1 0 2 + ∞
x²- 2 x + 0 - 0 +
x + 1 || + + +
f(x) - g(x) || + 0 - 0 +
7) f(x) - g(x) ≥ 0 sur l'intervalle ]- 1 ; 0]U[2 ; + ∞[ donc la courbe Cf est au-dessus de la droite d
f(x) - g(x) ≤ 0 sur l'intervalle [0 ; 2] donc la courbe Cf est en dessous de la droite d
f(x) - g(x) = 0 la courbe Cf et la droite d se coupent en deux point d'intersection d'abscisse x = 0 et x = 2
Explications étape par étape