Morwen
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Bonjour je bloque sur cet exercice je suis en seconde, merci d'avance pour l'aide

PS : oo veut dire signe infinie.

Soit la fonction f définie sur l'intervalle ] - 1;+oo[ par f(x) = 3/(x+1).


1. Déterminer l'antécédent du nombre 4 par la fonction f ( j'ai réussi cette question c'est -1/4 mais vous pouvez tjr vérifier au cas où )


2. Résoudre, avec un tableau de signes, pour x appartient à ] -1 ; +oo [, l'inéquation f(x)>=2

( Supérieur ou égal >= )


3. Soit g la fonction affine définie par g(0)=3 et g(-1)=4.

Déterminer l'expression de la fonction affine g en fonction de x



4. Dans un repère orthonormé d'unités 2cm en abscisse et 2cm en ordonnée, tracer pour x appartient à [ -0,5 ; 5,5 ] :

● la courbe Cf ( en utilisant un maximum de points pour être précis et en se servant du tableau de valeurs de sa calculatrice, prenez un pas de 0,5 pour obtenir 13 points à placer dans le repère. )

● la droite D représentative de la fonction g définie par g(x)= -x+3.


5. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle ]-1 ; +oo[, f(x) - g(x) = (x²-2x)/(x+1)


6. Dresser alors le tableau de signes de f(x) - g(x).


7. Interpréter graphiquement ce tableau en donnant les positions relatives de la courbe Cf et de la droite D en fonction des valeurs de x appartient à ] -1; +oo [.

Sagot :

Vins

bonjour

f (x) = 3 / ( x  + 1  )

1 ) antécédent de  4 = bien  - 1/4

2 )  f (x) ≥ 2

3 / ( x + 1 ) ≥ 2

3 / ( x + 1 ) -  2 ( x + 1) / ( x + 1) ≥ 0

( 3 - 2 x - 2 ) / ( x + 1 ) ≥ 0

( - 2 x + 1 ) / ( x + 1 ) ≥ 0             avec x ≠ - 1

- 2 x + 1 = 0 ⇔ - 2 x = -  1 ⇔ x =  1/2

x + 1 = 0 ⇔ x = - 1           valeur interdite

x                    - ∞              - 1             1/2                    + ∞

- 2 x + 1                  +                  +      0          -

x + 1                        -         0       +                   +

quotient                 -          0      +       0         -

] - 1 ; 1/2 ]

3 )   g ( 0)=  3 et  g ( - 1 ) = 4

( 4 - 3 ) / ( - 1 - 0 ) =   - 1/1 = - 1  donc a  = - x

g ( -1) = 4

 1 + b = 4 ⇔ b =  3

g (x) = - x + 3

d'où  g ( 0) = 3

le reste est du graphique

Réponse :

1) déterminer l'antécédent du nombre 4 par f

  f(x) = 3/(x+1) = 4 ⇔ 3/(x+ 1) - 4(x + 1)/(x + 1) = 0 ⇔ (3 - 4 x - 4)/(x+1) = 0

⇔ (- 4 x - 1)/(x+1) = 0   or x + 1 ≠ 0  donc  - 4 x - 1 = 0 ⇔ x = - 1/4

2) résoudre avec un tableau de signe, pour x ∈]- 1 ; + ∞[

l'inéquation f(x) ≥ 2

f(x) ≥ 2 ⇔ 3/(x+1) ≥ 2 ⇔ 3/(x+1) - 2 ≥ 0 ⇔ 3/(x+1) - 2(x+1)/(x+1) ≥ 0

⇔ (3 - 2 x - 2)/(x+1) ≥ 0 ⇔ (1 - 2 x)/(x+1) ≥ 0

x           - 1                       1/2                          + ∞

1 - 2 x                  +            0              -

x + 1      ||             +                            +  

Q          ||             +            0              -

l'ensemble des solutions est:  S = ]- 1 ; 1/2]

3) soit y la fonction affine définie par g(0) = 3 et g(- 1) = 4

Déterminer l'expression de la fonction affine en fonction de x

la fonction affine g  s'écrit  g(x) = a x + b

a : coefficient directeur = (f(0) - f(- 1))/ (0 + 1) = (3 - 4)/1 = - 1

b : l'ordonnée à l'origine  donc g(0) = 3 = b

donc l'expression de g(x) = - x + 3

4) je te laisse tracer toi même la courbe Cf et la droite

5) démontrer que pour tout x de l'intervalle ]- 1 ; + ∞[

f(x) - g(x) = (x² - 2 x)/(x+1)

f(x) - g(x) = 3/(x+1) - (- x + 3) = 3/(x+1)) - (-x + 3)(x + 1)/(x+ 1)

= (3 - (- x² - x + 3 x + 3))/(x+1)

= (3 - (-x² + 2 x + 3))/(x+1)

= (3 + x² - 2 x - 3)/(x+1)

= (x² - 2 x)/(x+1)

6) dresser alors le tableau de signe de f(x) - g(x)

x                 - 1                    0                  2                   + ∞

x²- 2 x                      +         0       -         0           +

x + 1             ||           +                   +                     +  

f(x) - g(x)      ||           +          0       -         0           +

7)  f(x) - g(x) ≥ 0   sur l'intervalle ]- 1  ; 0]U[2 ; + ∞[  donc la courbe Cf est au-dessus de la droite d

   f(x) - g(x) ≤ 0   sur l'intervalle [0 ; 2]  donc la courbe Cf est en dessous de la droite d

  f(x) - g(x) = 0   la courbe Cf et la droite d se coupent en deux point d'intersection  d'abscisse  x = 0 et x = 2

Explications étape par étape