Réponse : Bonsoir,
2)a) On a:
[tex]v_{n+1}=\ln(u_{n+1})-\ln4=\ln(2\sqrt{u_{n}})-\ln4=\ln 2+\ln(\sqrt{u_{n}})-\ln 4\\=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(\frac{2}{4})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln 2=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln(\sqrt{4})\\=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\frac{1}{2}\ln 4=\frac{1}{2}(\ln(u_{n})-\ln 4)=\frac{1}{2}v_{n}[/tex]
Donc [tex](v_{n})[/tex] est une suite géométrique de raison [tex]q=\frac{1}{2}[/tex].
b) On a donc pour tout entier naturel n:
[tex]v_{n}=v_{0} \times (\frac{1}{2})^{n}\\v_{0}=\ln(u_{0})-\ln 4=\ln(1)-\ln 4=-\ln 4\\Donc \; v_{n}=-\ln 4 \times (\frac{1}{2})^{n}[/tex]
Enfin, on a pour tout entier naturel n:
[tex]v_{n}=\ln(u_{n})-\ln 4\\\ln(u_{n})=v_{n}+\ln 4\\e^{\ln(u_{n})}=e^{v_{n}+\ln 4}\\\displaystyle u_{n}=e^{v_{n}}e^{\ln 4}=4e^{v_{n}}=4e^{-\ln 4 \times (\frac{1}{2})^{n}[/tex]
